【数学】河南省鹤壁市淇县第一中学2018-2019学年高二上学期第三次月考（理） 试卷
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高二上学期第三次月考（理）
第Ⅰ卷 （选择题、填空题共80分）
一、选择题： 本大题共12题，每小题5分，共60分．
1．设命题：命题q：则下列命题为真命题的是( )
A． B．
C． D．
2．在△ABC中，若，则( )
A． B． C． D．或
3．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是( )
A． B． C． D．
4．在中，“”是“”的( )
A．充分不必要条 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在等差数列中，若，，则的值是( )
A． B． C． D．
6．若，满足约束条件则的最大值为( )
A． B． C． D．
7．已知，则的最小值为( )
A． B． C． D．
8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”．其大意为：“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地”．则该人第二天走的路程为( )
A．192里 B．96里 C．48里 D．24里
9．抛物线上的点到焦点的距离为，则的值为( )
A．或 B． C． D．或
10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
11．在中，分别为角的对边)，则为（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰或直角三角形
12．若方程的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
第II卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知命题， ，则命题的否定为__________.
14．设是椭圆的两个焦点，P在椭圆上，且满足，则的面积是 .
15．已知，，若，则的最小值为________．
16．已知抛物线上有一条长为9的动弦AB，则AB中点到轴的最短距离为 .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知是等比数列，，且，，成等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
18．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
19．（10分）已知命题，命题表示焦点在轴上的双曲线.
（1）命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.
20．（12分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点，且斜率为的直线交椭圆于，两点，求的面积．
21.（12分）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是，O为坐标原点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l与抛物线相交于B，C两点，求证：∠ BOC=90°.
22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2,1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | B | A | D | A | A | D | C | B | D | A | A | B |
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
- ； 14. ； 15. ； 16. .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
- 【解】（1）设的公比为，依题意：………………2分
即；……………………………………………………4分
又， ……………………………………………………….6分
（2）有已知得， …………………………………………………….7分
；…………………….9分
； ………11分
………………………………………………….12分
- 【解】（1）由正弦定理知：
，，；……………………….2分
； ……………………………………………….4分
，………………………………6分
（2）；………………………8分
； …………………………………………10分
；的周长为………………………………………………12分
19、（1）当命题为真时，由已知得，解得
当命题为真命题时，实数的取值范围是.........................................3分
（2）当命题为真时，由解得
由题意得命题中有一真命题，有一假命题 ....................5分
当命题为真、命题为假时，则
解得........................................................................8分
当命题为假、命题为真时，则， 无解
实数的取值范围是..........................................10分
20.【解】（1）由题意，设所求椭圆标准方程为：，焦距为
∵抛物线的焦点为，∴，…………………………1分
又离心率， …………………………2分
再由； …………………………3分
所求椭圆标准方程为： …………………………4分
（2）由（1）知：左焦点为，直线m的方程为：…………6分
，，…………………………8分
由弦长公式；…………………………10分
到直线的距离；
。…………………………12分
21.略
22.【解】(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，
化简整理得y2＝2(|x|＋x)．故点M的轨迹C的方程为y2＝.........4分
(2)在点M的轨迹C中，记C1：y2＝4x (x≥0)，C2：y＝0(x<0)．
依题意，可设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)．
由方程组
可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.(*1)
①当k＝0时，此时y＝1.把y＝1代入轨迹C的方程，得x＝.
故此时直线l：y＝1与轨迹C恰好有一个公共点(，1)．.........................6分
②当k≠0时，方程(*1)根的判别式为Δ＝－16(2k2＋k－1)．(*2)
设直线l与x轴的交点为(x0,0)，则由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.(*3)
(ⅰ)若由(*2)(*3)解得k<－1或k>.
即当k∈(－∞，－1)∪(，＋∞)时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．........................................................................8分
(ⅱ)若或由(*2)(*3)解得k∈{－1，}，或－≤k<0.
即当x∈{－1，}时，直线l与C1只有一个公共点，与C2有一个公共点．
当k∈[－，0)时，直线l与C1有两个公共点，与C2没有公共点．
故当k∈[－，0)∪{－1，}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点．...........................10分
(ⅲ)若由(*2)(*3)解得－1<k<－或0<k<.
即当k∈(－1，－)∪(0，)时，直线l与C1有两个公共点，与C2有一个公共点，故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点．
综合①②可知，当k∈(－∞，－1)∪(，＋∞)∪{0}时，直线l与轨迹C恰好有一个公共点；当k∈[－，0)∪{－1，}时，直线l与轨迹C恰好有两个公共点；当k∈(－1，－)∪(0，)时，直线l与轨迹C恰好有三个公共点．....12分
