【数学】河北省保定市2019-2020学年高二上学期第四次月考（理）试题
展开河北省保定市2019-2020学年高二上学期第四次月考
数学（理）试卷
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：(每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的).
1. 已知集合，则集合( )
A． B． C． D．
2．下列函数中，既是奇函数，又在（0，+∞）上是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设f（x）＝+3x﹣8，且计算f（1）＜0，f（2）＞0，f（1.5）＞0，则该同学下一步应计算的函数值为（ ）
A．f（0.5） B．f（1.125） C．f（1.25） D．f（1.75）
- 下列命题中错误命题的个数有( )个
（1）若命题p为假命题，命题为假命题，则命题“”为假命题；
（2）命题“，则或”的否命题为“”；
（3）对立事件一定是互斥事件；
（4）A,B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
6．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模版”，它是：由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的，如图是一个七巧板拼成的平行四边形ABCD，E为AB边的中点，若在四边形ABCD中任取一点，则此点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为0.9，记他在10次独立射击中命中目标的次数为随机变量ξ，则D（ξ）＝（ ）
A．0.09 B．9 C．1 D．0.9
8．的展开式中的系数为（ ）
A．400 B．120 C．80 D．0
- 函数的部分图象大致是（ ）
10．在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x+4y﹣a＝0（a＞0），若C上的点到l的距离的最大值为，则a＝（ ）
A．12 B．22 C．17 D．12或22
11．函数的定义域为( )
A． B． C． D．
12.已知函数，对任意，存在，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
13．若，则 ．
14．若a，b是任意实数，且a＞b，则下列不等式一定成立的有 ．
①b>a ②a<b ③a2＞b2 ④a3＞b3
15．已知函数，则f（2）= ．
16．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______.
三、解答题（共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17、（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P（1，0），直线l与曲线C相交于A，B，求的值．
18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）记函数y＝f（x）+3|x+1|的最小值为m，正实数a，b满足a+b，
求证：log3（）≥2．
19、（本小题满分12分）今年4月23日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科．已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生1000人，女生800人．按分层抽样的方法从中抽取了36个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．
（Ⅰ）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表．并根据K2统计量判断能否有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关？
（Ⅱ）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有X人，女生有Y人，求随机变量ξ＝X﹣Y的分布列和数学期望．
K2的计算公式：
临界值表如下：
P（K2≥k0） | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
20、（本小题满分12分）已知函数，当x＝1时，f（x）取得极小值2．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值．
21、（本小题满分12分）已知函数，其中a∈R，e为自然对数的底数．
（1）当a＝1时，证明：对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2；
（2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a的取值范围．
22、（本小题满分12分）某种电路开关闭合后，会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是，从开关第二次闭合起，若前次出现红灯,则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概率是，出现绿灯的概率是，记开关第n次闭合后出现红灯的概率为。
(1)求： ； (2)求证：；
【参考答案】
一、选择题
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
B | C | C | C | A | C | D | D | B | A | D | D |
二、填空题
13、
14、④
15、2
16、120
三、解答题
17、解：（Ⅰ）由（t为参数），消去参数t，可得．
∵ρ＝4cosθ，∴ρ2＝4ρcosθ，即x2+y2﹣4x＝0．
∴曲线的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4；………………………………………………（5分）
（Ⅱ）把代入x2+y2﹣4x＝0，得．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣3．
不妨设t1＜0，t2＞0，
∴．……………………（10分）
18、解：（1）f（x）＝|2x﹣1|﹣|x+1|，
由f（x）≤4得，或或，
∴﹣2≤x＜﹣1或﹣1≤x或x≤6，∴不等式的解集为：{x|﹣2≤x≤6}．………（5分）
（2）f（x）+3|x+1|＝|2x﹣1|+|2x+2|≥|2x﹣1﹣（2x+2）|＝3，
当且仅当（2x﹣1）（2x+2）≤0，即﹣1≤x时取等号，∴m＝3， ………（8分）
∴a+b＝1，∴5
≥5+29，当且仅当，即a时取等号，
∴log3log39＝2． ………………………………………（12分）
19、解：（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，
16个女生，结合题目数据可得列联表如下；
| 物理 | 历史 | 合计 |
男生 | 17 | 3 | 20 |
女生 | 10 | 6 | 16 |
合计 | 27 | 9 | 36 |
根据表中数据，计算，
而P（K2≥2.4）＞P（K2≥2.706）＝0.10，
所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关； ……………………（6分）
（II）由（I）知在样本里选历史的有9人，其中男生3人，女生6人；
所以ξ可能的取值有2，0，﹣2，﹣4；
且P（ξ＝2）＝P（X＝3且Y＝1），
P（ξ＝0）＝P（X＝2且Y＝2）；
P（ξ＝﹣2）＝P（X＝1且Y＝3），
P（ξ＝﹣4）＝P（X＝0且Y＝4）；
所以ξ的分布列为：
ξ | 2 | 0 | ﹣2 | ﹣4 |
P |
|
|
|
|
ξ的期望为． ………（12分）
20、解：（Ⅰ）根据题意，，则，
因为x＝1时，f（x）有极小值2，则有，
解可得：，所以，
经检验符合题意，则a，b＝1； ………………………………………（6分）
（Ⅱ）由（1）知
当时，由，由f'（x）＞0得x∈（1，2），
所以上单调递减，在（1，2）上单调递增，则fmin（x）＝f（1）＝2，
又由，
得．
函数f(x)的最小值为2，最大值是5-2ln2 ………………………………………（12分）
21、解：（1）当a＝1时，f（x）＝ex﹣sinx+1，则f'（x）＝ex﹣cosx≥0，且当x＝0时f'（x）＝0，
∴f（x）在[0，）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝2，
∴对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2； ……………… ……………………（4分）
（2）令f（x）＝0，则a，令g（x）（0≤x≤π），
函数f（x）在[0，]上存在两个零点，即
函数y＝a与函数g（x）在[0，]上有两个不同的交点，
由g（x）得，g'（x），
令g（x）＝0，则sin（x），∵x∈[0，]，∴x或x，
∴当0＜x时，g'（x）＞0；当x时，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴，
又g（0）＝﹣1，g（），∴当x∈[，0）时，y＝a与g（x）有两个交点，
∴a的取值范围为：[，0）． ……………… ……………………（12分）
22、解：(1)第二次闭合后出现红灯的概率P2的大小决定于两个互斥事件：即第一次红灯后第二次又是红灯；第一次绿灯后第二次才是红灯。于是P2=P1·+(1－P1)·=。 …………（4分）
(2)受(1)的启发，研究开关第N次闭合后出现红灯的概率Pn，要考虑第n－1次闭合后出现绿灯的情况，有
Pn=Pn－1·+(1－Pn－1)·=－Pn－1+，
再利用待定系数法：令Pn+x=－(Pn－1+x)整理可得x=－
∴{Pn－}为首项为(P1－)、公比为(－)的等比数列
Pn－=(P1－)(－)n－1=(－)n－1，Pn=+(－)n－1
∴当n≥2时，Pn<+= ……………… ……………………（12分）
