【数学】河北省邯郸市大名县第一中学2019-2020学年高二上学期第一次月考试卷（解析版）


河北省邯郸市大名县第一中学2019-2020学年
高二上学期第一次月考试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（　　）
A. B.
C. D. 或
2.不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是（　　）
A. B. 或 C. D. 或
3.若样本数据x1，x2，…，x10的方差为8，则数据2x1-1，2x2-1，…，2x10-1的方差为（）
A. 31 B. 15 C. 32 D. 16
4.已知一组数据的频率分布直方图如图所示则众数、中位数、平均数分别为（ ）
​
A. 63、64、66
B. 65、65、67
C. 65、64、66
D. 64、65、64
5.有线性相关关系的变量x，y有观测数据（xi，yi）（i=1，2，…，15），已知它们之间的线性回归方程是，若，则（　　）
A. 17 B. 86 C. 101 D. 255
6.为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（）
A. B. C. D.
7.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第Ⅰ营区，从201到500住在第Ⅱ营区，从501到600住在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A. 16，26，8 B. 17，24，9 C. 16，25，9 D. 17，25，8
8.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为 　　
A. B. C. D.
9.给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”；
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件．
其中正确的命题的个数是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
10.四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放一枚质地均匀的硬币，所有人同时抛掷自己面前的硬币一次．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么，事件“相邻的两个人站起来”没有发生的概率为（　　）
A. B. C. D.
11.椭圆中，以点M（1，2）为中点的弦所在直线斜率为（　　）
A. B. C. D.
12.已知椭圆的左，右焦点是F1、F2，P是椭圆上一点，若|PF1|=2|PF2|，则 椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.命题“∀x∈R，3x2-2x+1＞0”的否定是______．
14.某中心医院体检中心对某学校高二年级的1200名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为150的样本，已知样本中女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是________．
15.设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为______ ．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知F是椭圆的左焦点，A为右顶点，P
是椭圆上一点且PF⊥x轴．若 ，则该椭圆的离心率为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.第17题10分，第18-22题每题12分）
17.已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．


18.某培训班共有n名学生，现将一次某学科考试成绩(单位：分)绘制成频率分布直方图，如图所示其中落在[80，90)内的频数为36．
​​
(1)请根据图中所给数据，求出a及n的值；
(2)从如图5组中按分层抽样的方法选取40名学生的成绩作为一个样本，求在第一组、第五组(从左到右)中分别抽取了几名学生的成绩？
(3)在(2)抽取的样本中的第一与第五组中，随机抽取两名学生的成绩，求所取两名学生的平均分不低于70分的概率．

19.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
年份代号t
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入y
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
附：用最小二乘法求线性回归方程系数公式 


20.随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

21.已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为-1，短轴长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．

22.设椭圆的对称中心为坐标原点，其中一个顶点为A(0，2)，右焦点F与点的距离为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在经过点(0，-3)的直线l，使直线l与椭圆相交于不同的两点M，N满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

参考答案
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．
【解答】
解：∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．
故选D．

2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了充分必要条件，考查不等式解法，是一道基础题；
解题时，先​求出不等式2x2-5x-3≥0的解集，再根据集合的包含关系判断即可．
【解答】
解：解不等式2x2-5x-3≥0得：x≥3或x≤-，
∴不等式2x2-5x-3≥0成立的一个必要不充分条件是：x＜0或x＞2，
故选B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了方差的性质与应用问题，属于基础题目．
​根据样本数据的方差是，得出对应数据的方差是
【解答】
 解：因为样本数据的方差为8，所以数据的方差为
故选C．
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了利用频率分布直方图求数据的众数、中位数和平均数的问题，属于基础题，在频率分布直方图中，众数是最高的小长方形的底边的中点横坐标的值，中位数是所有小长方形的面积相等的分界线，平均数是各小长方形底边中点的横坐标与对应频率的积的和，由此求出即可．
【解答】
解：由频率分布直方图可知，
众数为=65，
由10×0.03+5×0.04=0.5，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65，
平均数为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67.
故选B.
5.【答案】D
【解析】
解：∵，
∴===，
则=5×+11=5×+11=6+11=17，
则15=15×17=255，
故选：D．
根据条件求出，的值，即可得到结论．
本题主要考查线性回归方程的应用，根据直线过样本中心（，）是解决本题的关键．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算与分步计数原理的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．确定基本事件的个数，利用古典概型的概率公式，可得结论．
【解答】
解：从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，有6种方法.红色和紫色的花在同一花坛，有2种方法；红色和紫色的花不在同一花坛，有4种方法，
​所以所求的概率为=．
另解：由列举法可得，红、黄、白、紫记为1，2，3，4，
即有（12，34），（13，24），（14，23），（23，14），（24，13），（34，12），
则P==．
故选C．
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题解题的关键是看出每一个组里的人数，属于基础题．依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而得出三个营区被抽中的人数．本题考查系统抽样方法，
【解答】
解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，
则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，
所以,解得n，
故可分别求出在001到200中有17人，
,解得m，
在201至500号中共有42-17=25人，
​则501到600中有50-17-28=8人．
故选D．
8.【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【解答】
解：甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所有可能出现的结果列表如下：
       甲  乙
锤
剪子
包袱
锤
（锤，锤）
（锤，剪子）
（锤，包袱）
剪子
（剪子，锤）
（剪刀，剪子）
（剪子，包袱）
包袱
（包袱，锤）
（包袱，剪子）
（包袱，包袱）
∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：（锤，锤）、（剪子，剪子）、（包袱，包袱）．
∴甲和乙平局的概率为：=．
故选：A．
9.【答案】C
【解析】
解：①若“p且q”为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但不一定均为假命题，故错误；
②命题“若a＞b，则2a＞2b-1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b-1”，故正确；
③“∀x∈R，x2+1≥1”的否定是“∃x∈R，x2+1＜1”，故正确；
④在△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“2RsinA＞2RsinB”⇔“sinA＞sinB”，
故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故正确．
故选：C．
根据复合命题真假判断的真值表，可判断①；根据四种命题的定义，可判断②；根据全称命题的否定，可判断③；根据充要条件的定义，可判断④．
本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，充要条件等知识点，难度中档．
10.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查古典概型求概率，利用间接法，先计算有相邻的两个人站起来的概率，属中档题.
【解答】
解：由题意可知，四个人抛硬币，一共有24=16种不同的情况，
其中有相邻两个人同为正面需要站起来有4种情况，三个人需要站起来有4种情况，
四个人都站起来共有1种情况，所以有相邻的两个人站起来的概率，
故没有相邻的两个人站起来的概率为，
故选B.
11.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，属于基础题.
在解决弦的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率.
【解答】
解：设弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆得，
两式相减得+=0，
即=，
即=，
即=，
即=，
∴弦所在的直线的斜率为.
故选D.
12.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查椭圆的定义以及离心率范围，考查计算能力，属于中档题．
根据已知及椭圆的性质及几何意义，求出离心率e的取值范围.
【解答】
解：∵由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|=2|PF2|
∴|PF1|=，|PF2|=
又即
所以：
所以椭圆的离心率e的取值范围是[，1），
故选C．
13.【答案】∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0
【解析】
解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R，3x2-2x+1＞0”的否定是的否定为∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0，
故答案为：∃x0∈R，3x02-2x0+1≤0．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14.【答案】560
【解析】
【分析】本题主要考查分层抽样的应用.
【解答】解：设该校的女生人数为x，则男生人数为1200－x．
抽样比例为，
∵女生比男生少抽了10人，
∴，解得x＝560．
故该校的女生人数为560.
​故答案为560.
15.【答案】[-2，1]
【解析】
解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：
 
由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（-，0），F2（，0），
设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1-；
=（--x，-y），=（-x，-y）；
=（--x，-y）•（-x，-y）=x2-3+1-=-2，
由题意可知：x∈[-2，2]，则x2∈[0，4]，
∴的取值范围为[-2，1]．
故答案为：[-2，1]．
由题意可知：焦点坐标为F1（-，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1-，=（--x，-y）•（-x，-y）=x2-3+1-=-2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[-2，1]．
本题考查椭圆的简单几何性质，考查向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】
解：把x=-c带入椭圆方程得+=1，解得y=±，∴PF==，
由PF=AF可得：=（a+c），即=，
∴e==．
故答案为：．
计算PF，根据化简得出离心率的值．
本题考查了椭圆的简单性质，属于中档题．
17.【答案】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，
∴(x-)2+，
即，
解得：；
q：椭圆的焦点在x轴上，
∴m-1＞3-m＞0，
解得：2＜m＜3，
由p∧q为真知，p，q皆为真，
解得．
【解析】
通过不等式恒成立求出p中m的范围；椭圆的焦点在x轴上求出m的范围，利用命题p∧q为真命题，求出m的交集即可．
18.【答案】解：(1)由频率分布表可得第4组的频率为：1-0.05-0.225-0.35-0.075=0.3
∴a==0.03，n==120.
(2)由分层抽样的特点可得：第一组应抽0.05×40=2个，第五组应抽0.075×40=3个
(3)设第一组抽到的2个分数记作A1，A2，第五组的3个记作B1，B2，B3
从这两组中抽取2个有A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，
B1B2，B1B3，B2B3共10种，其中平均分不低于70分的有9种，
故所求的概率为：P=.
【解析】
本题考查频率分布直方图，分层抽样，和古典概型计算公式，属于基础题.
​(1)由频率分布表各频率和为1的特点易得第4组的频率，进而可得a和n的值；
(2)利用分层抽样的特点进行求解；
(3)由(2)可知第一组，第五组分别抽到的2个分数，3个分数，分别记作A1，A2，和B1，B2，B3由列举法可得答案．
19.【答案】解：（1）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，
∴===0.5，
=-=4.3-0.5×4=2.3．
∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；
（2）由（1）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．
将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元
【解析】
（1）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（2）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值
本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题
20.【答案】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160～169之间，而乙班身高集中于170～180之间．
因此乙班平均身高高于甲班
（2），
甲班的样本方差为：
×[（158-170）2+（162-170）2+（163-170）2+（168-170）2+（168-170）2+（170-170）2+（171-170）2+（179-170）2+（179-170）2+（182-170）2]=57.2．
（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173）（181，176）
（181，178）（181，179）（179，173）（179，176）（179，178）（178，173）
（178，176）（176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件．∴．（12分）
【解析】
本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．
茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是百位和十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答．从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键．
21.【答案】解：（Ⅰ）由题意，，解得a=，c=1．
即椭圆方程为=1.
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，|AB|=，此时S=,不符合题意，故舍掉；
当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2-6）=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以|AB|=．
原点到直线的AB距离d=，
所以三角形的面积S=．
由S=可得k2=2，∴k=±，
所以直线AB：=0或AB：=0．
【解析】
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理确定三角形的面积是关键．
（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB的方程．

22.【答案】解：(1)依题意，设椭圆方程为，
则其右焦点坐标为，由|FB|=2，
得，即，故．
又 ∵b=2，∴a2=12，
从而可得椭圆方程为．
(2)由题意可设直线l的方程为y=kx-3(k≠0)，由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，
由消去y得x2+3(kx-3)2=12，即可得方程(1+3k2)x2-18kx+15=0…(*)
当方程 (*)的△=(-18k)2-4(1+3k2)×15=144k2-60＞0
即时方程(*)有两个不相等的实数根．
设M (x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点P(x0，y0)，
则x1，x2是方程(*)的两个不等的实根，故有．
从而有，．
于是，可得线段MN的中点P的坐标为
又由于k ≠0，因此直线AP的斜率为，
由AP ⊥MN，得，即5+6k2=9，解得，
∴，
∴综上可知存在直线l：满足题意．
【解析】
(1)直接根据条件得到以及b=2；求出a2=12即可得到椭圆的方程；
(2)设直线l的方程为y=kx-3(k≠0)，由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上；联立直线方程和椭圆方程得到k的屈指范围以及点M，N的坐标和k的关系，结合点A在线段MN的垂直平分线对应的斜率相乘等于-1即可求出结论．