【数学】河北省阜平中学2018-2019学年高二上学期12月月考（文） 试卷

河北省阜平中学2018-2019学年高二上学期12月月考（文）

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为（   ）

A．   B．   C．   D．

2．已知函数，则（　）

　 A.   B.   C.   D.

3. 设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（   ）

A．   B．   C．   D．

4．命题p：若a＜b，则∀c∈R，ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1+lnx0=0，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧q                    B．p∨（￢q） 

C.（￢p）∧q             D．（￢p）∧（￢q）

 5. 已知函数f(x)的导为，且满足，则＝(　　)

 A．2018        B．－2018        C．－2019         D．2019

6．已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为（   ）

A．   B．   C．    D．

7. 已知抛物线在点（2，-1）处与直线相切，则的值为（   ）

A．          B．   C．­          D．

8.已知函数 若对区间上任意的，都有

，则实数t的最小值是（   ）

A．20   B．10     C．18       D．0

9．函数的图像大致为（   ）

10. 若函数满足在R上恒成立，且，则 （   ）

A．       B． 

C．          D．

11. 已知函数f(x)=,下列结论中错误的是（    ）

 A．, f()=0     

B．函数y=f(x)的图像是中心对称图形

    C．若是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞, ）单调递减

    D. 若是f（x）的极值点，则

12．若函数在单调递增,则a的取值范围是（   ）

A．       B．       C．        D．

二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）

13．抛物线的准线方程为　   　．

14．曲线在处的切线方程为________.

15. 若且在x=2处有极值,则的最大值为________.

16．已知F是抛物线C:的焦点， M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|=________.

三、解答题（本大题6小题，共70分） 

17．（10分）已知p：方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根；q：方程表示焦点在y轴上的双曲线。

（I）若q为真命题，求实数m的取值范围；

（II）若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围。

18．（12分）已知（）在x=2处取得极小值.

（I）求实数a，b的值；

（II）若函数对恒成立，求实数m的取值范围。

19．（12分）已知函数，.

（I）证明：当时，；

（II）若函数，讨论的单调性。

20．（12分） 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不记厚度)，设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米。假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元（为圆周率）。

（I）将V表示为r的函数V(r)，并求该函数的定义域；

（II）讨论函数V(r)的单调性，并确定r为何值时，该蓄水池的体积最大。

21．（12分）已知函数。

（I）若函数在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；

（II）当时，关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围。

22．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2x．

（I）求函数f（x）的极值；

（II）求函数f（x）在上的最小值；

（III）当a＜2﹣ln4且x＞0时，试比较f（x）与x2+（a﹣2）x+1的大小。

参考答案

一、      选择题

1-5：CBDCC            6-10：DCADB            11-12：BC

二、      填空题

13.       14.        15. 9        16. 6

三、解答题

17．解：（1）由已知方程表示焦点在y轴上的双曲线，

则，得，得m＜﹣3，即q：m＜﹣3．  …（4分）

（2）若方程x2+2mx+（m+2）=0有两个不等的正根

则，解得﹣2＜m＜﹣1，即p：﹣2＜m＜﹣1．（6分）

因p或q为真，所以p、q至少有一个为真．

又p且q为假，所以p，q至少有一个为假．

因此，p，q两命题应一真一假，当p为真，q为假时，

，解得﹣2＜m＜﹣1；…（8分）

当p为假，q为真时，，解得m＜﹣3．

综上，﹣2＜m＜﹣1或m＜﹣3．…（10分）

18． 解：(1)由已知得f(2)＝－，f′(2)＝0，…………（ 1分）

又f′(x)＝x2＋a，所以  ＋2a＋b＝－，4＋a＝0，

所以a＝－4，b＝4，则f(x)＝x3－4x＋4，…………（ 4分）

令f′(x)＝x2－4>0，得x<－2或x>2，

所以增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．……………（ 6分）

(2) f(－4)＝－，f(－2)＝，f(2)＝－，f(3)＝1，

则当x∈[－4,3]时，f(x)的最大值为，     …………（ 8分）

故要使f(x)≤m2＋m＋对∈[－4,3]恒成立，只要≤m2＋m＋，…（ 10分）.    解得m≥2或m≤－3.    …………（ 11分）

所以实数m的取值范围是    …………（ 12分）

19．（I）证明：令,

   …………（ 2分）

当时，，递增；

当时， ，递减。

在处取得极大值，也是最大值。…………（ 4分）

.即.

当时，；…………（ 6分）

（II） 解： 的定义域为

…………（ 8分）

当时，恒成立，在递增；…………（ 9分）

当,令,得,

当时，，递增；

当时，，递减。…………（11分）

综上所述，当时， 在递增；

当,在递增；在递减。…………（ 12分）

20. 解：(1) 蓄水池侧面的总成本为100元，底面的总成本为元，所以蓄水池的总成本为，…………（ 2分）

所以. 从而

V(r) ，…………（ 4分）

由得V(r)的定义域. …………（ 6分）

 (2)，故。…………（ 7分）

令得，…………（ 9分）

当时，，V(r)增；当时， ，V(r)减。

由此可知，V(r)在处取得最大值，此时. …………（ 10分）

即当， 时，蓄水池的体积最大。…………（ 12分）

21．解：(1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

又f′(x)＝－(x>0)，由题意得        …………（ 2分）

f′(x)≥0在x>0时恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x>0时恒成立，

则在x>0时恒成立，

即( x>0).  …………（ 4分）

当x＝1时，2－1取最小值－1，所以a的取值范围是(－∞，－1]．……（ 6分）

 (2)当a＝－时，f(x)＝－x＋b，  即x2－x＋lnx－b＝0. ………（ 7分）

设g(x)＝x2－x＋lnx－b(x>0)， 则，…………（ 8分）

当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：

所以g(x)极小值＝g(2)＝ln2－b－2，g(x)极大值＝g(1)＝－b－，…………（ 10分）

又g(4)＝2ln2－b－2，

因为方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，

则解得ln2－2<b≤－，

所以实数b的取值范围是(ln2－2，－)．…………（ 12分）

22．解：（1）f′（x）=ex﹣2，… （1分）

令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，  令f′（x）＜0，解得：x＜ln2，…（ 2分）

故f（x）在（﹣∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，

故当x=ln2时f（x）有极小值f（ln2）=2﹣2ln2，无极大值．…（4分）

（2）由（1）知当x=ln2时，f（x）有极小值f（ln2）=2﹣2ln2，

又，,

① 当时，f（x）在单调递增，

所以f（x）的最小值；…（6分）

② 当时，f（x）在递减，在递增，

所以f（x）的最小值；

综上所述，f（x）的最小值为：；…（8分）

（3）令h（x）=f（x）﹣x2﹣（a﹣2）x﹣1=ex﹣x2﹣ax﹣1，

h′（x）=ex﹣2x﹣a=f（x）﹣a，…（9分）

∴h′（x）min=f（x）min﹣a=2﹣2ln2﹣a，…（10分）

∵a＜2﹣ln4    ∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）单调递增，………（11分）

∴h（x）＞h（0）=0，   即f（x）＞x2+（a﹣2）x+1．……………（12分）