【数学】河北省大名县一中2018-2019学年高二上学期周测
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一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设数列{an}满足：2an＝an＋1(n∈N*)，且前n项和为Sn，则的值为( )
A. B. C．4 D．2
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3在等差数列中，，，则此数列的前13项之和为 （ ）
A．156 B．13 C．12 D．26
4.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设等比数列{an}的前n项和为.若＝3，＝15，则＝（ ）
A．31 B．32 C．63 D．64
6．已知满足，则的最大值等于
A． B． C． D．
7.若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
8.关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B. C. D.
9若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是（ ）
A. B. C. D.
10．设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1,2] B．[1,4] C．[，2] D．[2,4]
11．定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前 项的“均倒数”为，又，则=( )
A． B． C． D．
12．已知是等差数列的前n项和，若，，（n＞6），则n等于 （ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，）
13. 不等式≥0的解集为
14 若数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则an= .
15．若不等式2kx2+kx﹣≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是 ．
16．已知数列是公比大于1的等比数列，a1，a3是函数的两个零点．若数列满足，且，的最小值是
三．解答题（本大题共4个小题，每题10分）
17．Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
18．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an，n∈N*.
(1)求证：数列{}为等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
19．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x＞0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
20已知函数满足，且对于任意,恒有成立
（1）求实数a,b的值
（2）解不等式
参考答案
1．设数列{an}满足：2an＝an＋1(n∈N*)，且前n项和为Sn，则的值为( )
A. B.
C．4 D．2
解析：由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故＝＝，故选A.
答案：A
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【解析】A：取，，可知A错误；B：取，，，可知B错误；C：根据不等式的性质可知C正确；取，，可知D错误．
3.在等差数列中，，，则此数列的前13项之和为
（ ）
A．156 B．13 C．12 D．26
【答案】D
【解析】在等差数列中，，即，即，所以，
4.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【考点】简单线性规划
【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．
5．设等比数列{an}的前n项和为.若＝3，＝15，则＝ ( )
A．31 B．32
C．63 D．64
解析 由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.故选C.
答案 C
6．已知满足，则的最大值等于
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作出不等式表示的平面区域为边界及内部区域，表示点和的连线的斜率，由图知，点和连线的斜率最大，所以，故答案为C．
7.【2014四川，文5】若，，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【考点定位】不等式的基本性质.
【名师点睛】不等式的基本性质:同向同正可乘性,可推：
.
8．(2013·高考重庆卷)关于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝( )
A. B. C. D.
选A.法一：∵不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，∴x1，x2是方程x2－2ax－8a2＝0的两根．
由韦达定理知
∴x2－x1＝
＝＝15，
又∵a>0，∴a＝，故选A
9.若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是 ( )
A. B.
C. D.
由于直线y＝kx＋过定点.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．
因为A(1，1)，B(0，4)，
所以AB中点D.
当y＝kx＋过点时，＝＋，
所以k＝.
10．(2015·郑州质检)设实数x，y满足不等式组则x2＋y2的取值范围是( )
A．[1,2]
B．[1,4]
C．[，2]
D．[2,4]
解析：选B 如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC的内部(含边界)，x2＋y2表示的是此区域内的点(x，y)到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC的距离，其值为1；最远的距离为AO，其值为2，故x2＋y2的取值范围是[1,4]．
11．定义为个正数的“均倒数”．若已知数列的前 项的“均倒数”为，又，则=( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设数列{}的前n项和为，则由题意可得，
∴，，
∴，
∴
12．已知是等差数列的前n项和，若，，（n＞6），则n等于 （ ）（倒叙相加法）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【解析】由题意得，，
又因为
，所以，，解得，答案为D
13．(2015·惠州模拟)不等式≥0的解集为
14若数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则an= .（累加）
【解析】由已知an+1-an=2n,
故有a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…,an-an-1=2n-1.以上n-1个式子两边分别相加,
则有an-a1=2+22+23+…+2n-1==2n-2,
所以an=2n-2+a1=2n-1.
答案:2n-1
15．（2015•潍坊模拟）若不等式2kx2+kx﹣≥0的解集为空集，则实数k的取值范围
是 ．
解析：根据题意，得：
当k=0时，不等式化为﹣≥0，解集为空集，满足题意；
当k≠0时，应满足，即，解得，
∴﹣3＜k＜0.
综上，k的取值范围是（﹣3，0]．
16．已知数列是公比大于1的等比数列，a1，a3是函数的两个零点．
若数列满足，且，的最小值是
【解析】（1）∵，是函数的两个零点，
∴，是方程的两根，
又公比大于，故，，∴，∴；
（2）由（1）知，，
∴数列是首项为，公差为的等差数列，
∴，
∴或（舍），
故的最小值是．
17．(2015·高考全国Ⅰ卷)Sn为数列{an}的前n项和．已知an>0，a＋2an＝4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．
解析：(1)由a＋2an＝4Sn＋3，①
可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②
由②－①可得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
由于an>0，可得an＋1－an＝2.
又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.
(2)由an＝2n＋1可知
bn＝＝＝.
设数列{bn}的前n项和为Tn，则
Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝
＝.
18．(2017·合肥质检)在数列{an}中，a1＝，an＋1＝an，n∈N*.
(1)求证：数列{}为等比数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解析：(1)证明：由an＋1＝an知＝·，
∴是以为首项，为公比的等比数列．
(2)由(1)知是首项为，公比为的等比数列，
∴＝n，∴an＝，
∴Sn＝＋＋…＋，①
则Sn＝＋＋…＋，②
①－②得：Sn＝＋＋＋…＋－＝1－，∴Sn＝2－.
19．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x＞0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解析：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x＞0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以
即
解得a≥.
- 已知函数满足，且对于任意,恒有成立，（1）求实数a,b的值 （2）解不等式
