【数学】广东省阳春市第一中学2019-2020学年高二上学期月考试题 (1)

广东省阳春市第一中学2019-2020学年高二上学期月考试题（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一．填空题（每小题5分，共12小题，满分60分，每题只有一个正确答案）1．设集合，，则等于（     ）A． B． C． D．2．在等差数列{an}中，（     ）A．12               B．14               C．16               D．183．在中，若，则角等于（     ）A．             B．             C．或       D．或4．已知数列满足 ，则（　　）A.            B.              C.2              D.35．设， ， ，则， ， 的大小关系是（     ）A．       B．          C．       D．6．已知向量，，且，则的值是（     ）A．3 B． C． D．7．己知函数的部分图象如图所示，则的解析式是（     ）A． B．C． D．8．如图是某学生在高三的五次月考考试成绩的分数茎叶统计图，该组数的平均数为，若从中任取2个数，则这2个数都大于的概率为（     ）A．  B． C． D．9．在中，角，，的对边分别为，，，，，，设边上的高为，则（     ）A．            B． C．           D．10．如图，要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为（     ）A.m       B.20 m      C.m      D.40 m11．在中，角的对边分别是，若，则的值为（     ）A．1 B． C． D．12.“杨辉三角”又称“贾宪三角”,是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算,而杨辉在公元1261年所著的详解九章算法一书中,辑录了贾宪三角形数表,并称之为“开方作法本源”图下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数是 （     ）2017    2016    2015        5    4    3    2    1 4033     4031        9    7    5    3
8064        16    12    8
    28    20
A.  B.  C.  D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13.已知向量=（1，），=（，1），则与夹角的大小为______．14.如果三个数,,成等差数列,则x=_______．15.将函数f（x）=cos（2x+）-1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质____    __．（填入所有正确性质的序号）
①最大值为，图象关于直线x=-对称；②图象关于y轴对称；③最小正周期为π；
④图象关于点（，0）对称；⑤在（0，）上单调递减．16．点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形面积的最小值为2，则的值为______．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（满分10分）我校举行知识竞赛答题，高二年级共有1200名学生参加了这次竞赛.为了解竞赛成绩情况，从中抽取了100名学生的成绩进行统计.其中成绩分组区间为，，，，，其频率分布直方图如图所示，请你解答下列问题：（1）求的值；（2）若成绩不低于90分的学生就能获奖，问所有参赛学生中获奖的学生约为多少人；（3）根据频率分布直方图，估计这次平均分（用组中值代替各组数据的平均值）. 18．（满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．（1）求cosC的值；（2）若c=，求△ABC的面积．   19. （满分12分）已知△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且.（1）求角C的大小； （2）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积.     20. （满分分）在四棱锥P−ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60，E是PC上一点.（1）证明：平面EAB⊥平面PAC；（2）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A−EBC的体积.    21．（满分12分）如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），.（1）若，，求；（2）已知，记四边形的面积为，求的最大值.    22．（满分12分）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点. 以原点为圆心的圆与线段都相切.（1）求圆的方程及的值；（2）在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.             参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.题号123456789101112答案ADABBCDADDCB4.本小题主要考查递推数列，考查数列的周期性，属于基础题.5．【解析】由单调增加，由单调减知，则，由单调增加，∵， ， ．∴．故选．6．【解析】因为，故即即，所以，故选C．7．【解析】∵函数图象经过点 ，∴函数的最大值为1，可得 又∵函数的周期 可得 因此函数解析式为： 再将点代入，得： 解之得 ，∴取 所 的解析式是 故选D8．由茎叶图，这组数的平均数为：87.4据此可得：满足题意的概率为：.本题选择A选项.
9．∵，，，∴，则，则，故选D．10.【详解】由题意，设，则，在中，由余弦定理，得．化简得解得．即AB=40 m．故选D．11．∵，∴由正弦定理可得，即.由于，∴.∵，∴.又，由余弦定理可得，∴.故选C.二、12解：由已知：数表的每一行从右至左都是一个等差数列,
第一行公差是1,第二行公差是2,第三行公差是4,依次类推,第2015行公差为,
所以第一行第一个数是,第二行第一个数为,第三行第一个数为,
依次类推,第n行第一个数为,第2017行只有一个数,为,
故选B．
填空题13.         14.4     15.②③④．          16．14.解：等差数列,,,,
,
,
又,15【解：将函数f（x）=cos（2x+）-1的图象向左平移个单位长度，
得到y=cos[2（x+）+]-1=cos（2x+π）-1=-cos2x-1的图象；
再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）=-cos2x 的图象．
对于函数g（x）：
它的最大值为，由于当x=-时，g（x）=，不是最值，故g（x）的图象不关于直线x=-对称，故排除①；
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；
它的最小正周期为=π，故③正确；
当x=时，g（x）=0，故函数的图象关于点（，0）对称，故④正确；
在（0，）上，2x∈（0，），g（x）不是单调函数，故排除⑤，三、解答题17.（满分10分）解：（1）由. …2分解得 . …3分（2）学生成绩在之间的频率为0.05，. …4分故可估计所有参赛学生中能获奖的人数约为人. …5分（3）平均分的估计值为：分. …8分18．（满分12分）（1）△ABC中，∵，∴sinB==………………2分∴………………4分=．  …………………6分（2）由（Ⅰ）知 …………………8分由正弦定理知：，∴，…………………10分∴．       …………………12分19.解: (1)法一：由已知及余弦定理得，整理得. …2分，   ………………3分又在△ABC中，0＜C＜，       ………………4分∴，即角C的大小为.   .………………5分法二：由已知及正弦定理得，又在△ABC中，sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC, . ......……2分 ∴2sinCcosB – sinB=2sinBcosC+2cosBsinC，   即2sinBcosC= – sinB，又sinB≠0，           ………………3分∴，又0＜C＜，                ………………4分∴，即角C的大小为.            .………………5分(2)由(1)，在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，           .………………7分∵在△ADC中，0＜＜，C为钝角，              ........………....………8分∴，故.                    .………………9分∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴,             .……….……10分∴△ABC是等腰三角形，.                      .………………11分故△ABC的面积.    .…………….…12分20.解：(1)证明：依题意得四边形ABCD是底角为60的等腰梯形，………1分∴∠BAD=∠ADC=120.                   .…………........……2分∵ AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30，       .……………….........3分∴∠BAC=∠BAD−∠DAC=120−30=90，即AB⊥AC.…...........…4分∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，             ..........................………………...5分又平面AB平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC；         ..........................……………...6分(2)解法一：由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60，AB=1，∴AC= AB∙tan60=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，.........……………7分∴AB是三棱锥B−EAC的高，正△PAC的边长为.    ...……………8分∵E是PC的中点，∴S△EAC＝S△PAC＝.   ………10分∴三棱锥A−EBC的体积为...……………12分(2)解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD, 平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，           过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E−ABC的高，且PO∥EF，   ………7分又E是PC中点，∴ EF是△POC的中位线，故.由(Ⅰ)及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60，AB=1，∴BC=2AB=2, AC= AB∙tan60=, 即正△PAC的边长为,  ....…8分∴PO=, 故EF=.             .............................................….........9分在Rt△ABC中，S△ABC＝.    ……….........…10分∴三棱锥A−EBC的体积为. ...........12分21．（1）在中，，，由余弦定理得：………….2分在中，，，由余弦定理得：……….4分即：，解得：……….5分（2）在和中，由余弦定理得：整理可得：……………….7分面积：………8分即：………10分即：………11分当时，四边形面积的最大值为：………12分22．（1）由于圆与线段相切，所以半径.……………….1分即圆的方程为.……………….2分又由题与线段相切，所以线段方程为.即.……………….3分故直线的方程为.由直线和圆相切可得：，解得或.由于为不同的点，所以. ……………….5分（2）设.则，.……………….6分若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有为常数,等价于对圆上任意点恒成立.即.整理得.……….7分因为点在直线上，所以.由于在圆上，所以.……………….8分故对任意恒成立.…………9分所以.……………….10分显然，所以故，因为，解得或.……………….11分当时，，此时重合，舍去.当时，，综上，存在满足条件的定点，此时.……………….12分