【数学】广西壮族自治区田阳高中2019-2020学年高二12月月考（理） 试卷

广西壮族自治区田阳高中2019-2020学年高二12月月考（理）

注意事项：

1．答题前考，生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

2．请将答案正确填写在答题卡上，写在本试卷上无效。

一.选择题（本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。

1．设复数满足，则复平面内表示的点位于（）

A．第一象限 B．第四象限 C．第三象限 D．第二象限

2．从学号为1～50的高一某班50名学生中随机选取5名同学参加数学测试，采用系统抽样的方法，则所选5名学生的学号可能是（　　）

A．3，11，19，27，35 B．5，15，25，35，46

C．2，12，22，32，42 D．4，11，18，25，32

3．命题；命题．则（ ）

A．“或”为假 B．“且”为真 C． 真假 D．假真

4．从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，设事件为取到的两个数之和为偶数，则（    ）

A．         B．           C．                  D．

5．命题“，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（　　）

A．,或 B．,或

C．,且 D．,且

6．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件     B．必要而不充分条件

C．充分必要条           D．既不充分也不必要条件

7．设函数，若，则等于（    ）

A．   B．    C．      D．

8．函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则（    ）

A．2 B．4 C．20 D．18

9．执行如图所示的程序框图,若输入n的值为4,则输出s的值为（    ）

A．4   B．5    C．7   D．10

10．函数的图象大致是（    ）

A．B．  C． D．

11．函数在处的切线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率是（   ）

A．       B．      C．         D．

12．设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（      ）

A．       B．         C．       D．

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13．在区间上随机取一个数则的概率是______.

14． _____.                                      

15．一动点P在抛物线上运动，则它与定点Q（3,0）的连线中点M的轨迹方程是____

16．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是____________．                 

三、简答题（共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。

17．（10分）已知函数,当x = -1时取得极大值7，当x = 3时

取得极小值；

(1)求的值；         （2）求的极小值。

18．(12分)某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：

若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.

（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？

（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.

（i）共有多少种不同的抽取方法？

（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.

19．（12分）2015年习总书记在贵州调研时强调要科学谋划好“十三五”时期精准扶贫开发工作，确保贫困人口到2020年如期脱贫。某农科所实地考察，研究发现某贫困村适合种植A、B两种药材，可以通过种植这两种药材脱贫。通过大量考察研究得到如下统计数据：药材A的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

药材B的收购价格始终为20元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如下：

（1）若药材A的单价（单位：元/公斤）与年份编号具有线性相关关系，请求出关于的回归直线方程，并估计2020年药材A的单价；

（2）用上述频率分布直方图估计药材B的平均亩产量，若不考虑其他因素，试判断2020年该村应种植药材A还是药材B？并说明理由.

附： ，

20．（12分）如图，在四棱锥中，已知平面，为等边三角形，，，与平面所成角的正切值为.         

(Ⅰ)证明：平面；

(Ⅱ)若是的中点，求二面角的余弦值.

21．（12分）已知函数.

（1）当时，求f(x)的单调区间；

（2）若对，使成立，求实数的取值范围 (其中是自然对数的底数)．

22．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆分别交于两点，且，试问点到直线的距离是否为定值，证明你的结论．

参考答案

13．1\4 14．    15．  16．

17.∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b （2分）

∵当x =- 1 时函数取得极大值7，当x = 3时取得极小值

∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的两根，有

∴， ∴f(x) = x3– 3x2– 9x + c（6分）

∵当x = -1时，函数取极大值7，∴( - 1 )3– 3( - 1 )2– 9( - 1) + c = 7,∴c = 2（9分）

此时函数f(x)的极小值为：f（3）= 33- 3×32- 9×3×2 =- 25（12分）

18．解：（Ⅰ）设该校900名学生中“读书迷”有人，则，解得.

所以该校900名学生中“读书迷”约有210人.

（Ⅱ）（ⅰ）设抽取的男“读书迷”为，， ，抽取的女“读书迷”为

，，， (其中下角标表示该生月平均课外阅读时间)，

则从7名“读书迷”中随机抽取男、女读书迷各1人的所有基本事件为：

，，，，

，，，，

，，，，所以共有12种不同的抽取方法．

（ⅱ）设A表示事件“抽取的男、女两位读书迷月均读书时间相差不超过2小时”，

则事件A包含，，，，，

6个基本事件， 所以所求概率．   

19．解:(1),

,当时，

(2)利用概率和为1得到430—450频率/组距为0.005

B药材的亩产量的平均值为:

故A药材产值为B药材产值为。应该种植A种药材

20．（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）.

(Ⅰ)证明：因为平面，平面，

所以,又,,所以平面，

所以为与平面所成的角．

在中，，所以

所以在中，,.

又，所以在底面中，,

又平面，平面，所以平面．

(Ⅱ)解：取的中点，连接，则,由(Ⅰ)知，

所以，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.

则， ，，

所以，，

设平面的一个法向量为，

由，即，得，

令，则．

设平面的一个法向量为，

由，即，得，

令，则．所以，

由图形可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

21．（解(1),

的定义域为． ,,.

所以的单调递增区间为,单调递减区间为．

(2) ,,令

,由

当时,,在[,1]上单调递减

当时,,在[1,e]上单调递增,

,,,所以g(x)在[,e]上的最大值为

所以,所以实数的取值范围为

22．解：（1）由椭圆定义知：的周长为：   

由椭圆离心率：    ，椭圆的方程：

（2）由题意，直线斜率存在，直线的方程为：

 设，

联立方程，消去得：

由已知，且，

由，即得：

即：

，整理得：，满足

点到直线的距离：为定值