【数学】甘肃省甘谷第一中学2019-2020学年高二上学期第二次月考（理） 试卷
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高二上学期第二次月考（理）
（测试时间：120分钟 满分150分）
一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）
1. 已知命题，其中正确的是 （ ）
(A) (B)
(C) (D)
2.若抛物线的准线方程为x＝1，焦点坐标为(－1,0)，则抛物线的方程是( )
A．y2＝2x B．y2＝－2x C．y2＝4x D．y2＝－4x
3. 设，则是 的 （ ）
（A）充分但不必要条件 （B）必要但不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4. 已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
5.有以下命题：
①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；
②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，则点一定共面；
③已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底。
其中正确的命题是（ ）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
6. 如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
7. 已知△ABC的周长为20，且顶点B (0，－4)，C (0，4)，则顶点A的轨迹方程是 （ ）
（A）（x≠0） （B）（x≠0）
（C）（x≠0） （D）（x≠0）
8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1, y1）B（x2, y2）两点，如果=6，
那么＝ （ ）
（A）6 （B）8 （C）9 （D）10
9. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是 （ ）
（A）（） （B）（） （C）（） （D）（）
10.试在抛物线上求一点P，使其到焦点F的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
11. 在长方体ABCD-ABCD中，如果AB=BC=1，AA=2，那么A到直线AC的距离为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
12.已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）
二、填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）
13.已知A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则xy =___________。
14.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为y＝x，则此双曲线的离心率为________.
15. 如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是___________。
16.①一个命题的逆命题为真，它的否命题也一定为真；
②在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件.
③是的充要条件；
④命题“不等式x2＋x－6>0的解为x<－3或x>2”的逆否命题是“若－3≤x≤2，则x2＋x－6≤0”以上说法中，判断错误的有___________.
三、解答题（共6小题，满分70分）
17.（本题满分10分）
设：方程有两个不等的负根，：方程无实根，
若p或q为真，p且q为假，求的取值范围．
18.（本题满分12分）
已知椭圆C的两焦点分别为，长轴长为6，
⑴求椭圆C的标准方程;
⑵已知过点（0，2）且斜率为1的直线交椭圆C于A 、B两点,求线段AB的长度。.
19.（本题满分12分）
如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，
且，，是的中点。
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）求直线BE和平面的所成角的正弦值。
20.（本题满分12分）
在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点。
（1）求证：命题“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。
21.（本题满分12分）
如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，
PA=AD=2，BD=.
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P—CD—B余弦值的大小；
22. （本题满分12分）
如图所示，F1、F2分别为椭圆C：的左、右两个焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点到F1、F2两点的距离之和为4.
（1）求椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点，求△F1PQ的面积.
参考答案
一、选择题：
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | A | B | C | A | B | B | D | A | C | D |
二、填空题： 13、 2 14、 15、 16、③
三、解答题：
17、解：若方程有两个不等的负根，则， ………2分
所以，即． …………………………………………3分
若方程无实根，则， ………5分
即， 所以． …………………………………6分
因为为真，则至少一个为真，又为假，则至少一个为假．
所以一真一假，即“真假”或“假真”． …………………8分
所以或
所以或．
故实数的取值范围为． ……………………………10分
18、解：⑴由，长轴长为6
得：所以
∴椭圆方程为 ………………………6分
⑵设,由⑴可知椭圆方程为①,
∵直线AB的方程为② ……………7分
把②代入①得化简并整理得
∴ ……………………………10分
又 ……………………………12分
19、解：（1）以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、……………………………3分
COS<> ……………………………5分
所以异面直线与所成角的余弦为 ……………………………6分
（2）设平面的法向量为 则
， ………8分
则，…………………10分
故BE和平面的所成角的正弦值为 …………12分
20、证明：（1）解法一：设过点T(3,0)的直线l交抛物线=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于
A(3,)、B(3,－)，
∴。 ……………………………3分
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.
得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6. 又∵x1=y12, x2=y22,
∴=x1x2+y1y2==3. ………7分
综上所述, 命题“......”是真命题. ………8分
解法二：设直线l的方程为my =x－3与=2x 联立得到y2-2my-6=0 =x1x2+y1y2
=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m2+1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m2+1)× (-6)+3m×2m+9＝3 ………8分
（2）逆命题是：“设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果,那么该直线过点T(3,0).”…………………………………10分
该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,
直线AB的方程为y = (x+1),而T(3,0)不在直线AB上. ……………12分
点评：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x2,y2)满足,可得y1y2=－6。或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)
21、(1)方法一：证：⑴在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC.
方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.………………2分
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC. …………6分
解：（2）由（1）得.
设平面PCD的法向量为，则，
即，∴ 故平面PCD的法向量可取为
∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. ……………7分
设二面角P—CD—B的大小为依题意可得 . ………12分
22、解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2， 将点代入椭圆方程得 ，解得b2 = 3
∴c2 = a2－b2 = 4－3 = 1 ，故椭圆方程为， …………5分
焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0） …………6分
（2）由（Ⅰ）知，， ∴PQ所在直线方程为，
由得
设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则， ……………9分
……………12分
