【数学】安徽省定远重点中学2018-2019学年高二上学期第三次月考（理）（解析版） 试卷

安徽省定远重点中学2018-2019学年
高二上学期第三次月考（理）
本试卷满分150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。
第I卷 选择题 （共60分）
一、选择题（本大题共12题，每题5分，满分60分，每小题只有一个正确答案）
1.“1＜t＜4”是“方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”的(　　)
A． 充分不必要条件
B． 必要不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分也不必要条件
2.下列有关命题的说法正确的是(　　)
A． 命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”
B． “x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件
C． 命题“∃x0∈R，＋x0＋1＜0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1＜0”
D． 命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题为真命题
3.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为(　　)
A． B．
C． D．
4.已知F1、F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆离心率e＝，则椭圆的方程为(　　)
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5.已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)．
A． B．
C． D．
6.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)
A．a B．a
C．a D．a
7.在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是(　　)．
A． 30° B． 45°
C． 60° D． 90°
8.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，MN分别是A1B1，BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值为(　　)
A． － B．
C． D．
9.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则A1B与平面ABD所成角的正弦值为(　　)

A． B．
C． D．
10.二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2，则该二面角的大小为(　　)
A． 150° B． 45°
C． 60° D． 120°
11.过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影为A1，B1，则∠A1FB1等于(　　)．
A． 45° B． 90°
C． 60° D． 120°
12.已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为(　　)
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知p：|x－4|>6，q：x2－2x＋1－a2>0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为___．
14.如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________________．

15.F1、F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M，满足||＝3||，则此双曲线的渐近线方程为________．
16.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点.其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为　　　　.
三、解答题(共6小题,共70分)
17.（10分）已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，＋2ax0＋2－a＝0.若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
18. （12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AP＝AD＝AB＝，BC＝t，∠PAB＝∠PAD＝α.

(1)当t＝3时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时的值；
(2)当α＝60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．




19. （12分）设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|.
(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；
(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．



20. （12分）如下图，过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点P(x0，y0)(y0>0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)．

(1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数．
21. （12分）已知双曲线C1:x2-=1.
(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程.
(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当·=3时,求实数m的值.






22. （12分）如下图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.

(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；
(3)是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．

参考答案
1.B
【解析】∵1＜t＜4，∴0＜4－t＜3,0＜t－1＜3，
当t＝时，4－t＝t－1，曲线为圆，
∴由“1＜t＜4”推导不出“方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”．
∵方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆，
∴解得1 ∵1 ∴由“方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”能推出“1 ∴“1＜t＜4”是“方程＋＝1表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件．
故选B.
2.D
【解析】在A中，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；
在B中，“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的充分不必要条件，故B错误；
在C中，命题“∃x0∈R，＋x0＋1＜0”的否定为“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故C错误；
在D中，逆否命题与原命题同真假，易知原命题为真，则其逆否命题也为真命题，故D正确．
3.C
【解析】设右焦点为F(c,0)，则M，N，又OM⊥ON，
故c2－＝0，即b2＝ac，从而c2－a2＝ac，即e2－e－1＝0，
解得e＝(舍去负值)，故选C.
4.B
【解析】由题意知4a＝16，即a＝4，又∵e＝，∴c＝2，
∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
5.D
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4， ①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2. ②
由①②得x2＝1，
∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故选D.
6.A
【解析】设＝a，＝b，＝c，
∵＝，∴＝＝(＋＋)＝(a＋b＋c)，
∵N为BB1的中点，∴＝＋＝＋＝a＋c，∴＝－＝(a＋c)－(a＋b＋c)＝a－b＋c，∴||2＝(a－b＋c)2＝a2＋a2＋a2＝a2，∴||＝a，故选A.
7.A
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,1)，C(1，，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n＝(0,0,1)，
所以cos〈，n〉＝＝－，所以〈·n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
8.B
【解析】如图，由图知直线AM与CN所成角等于〈，〉，＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋＋·＋·＝，

||＝＝＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
9.A
【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB＝90°，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图空间直角坐标系，

设CA＝CB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，
∴E，G，＝，＝(0，－a,1)，
∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，
∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2，
∴＝，＝(2，－2,2)，
∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量，
又cos〈，〉＝＝＝，
∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为，故选A.
10.C
【解析】由条件知，·＝0，·＝0，＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈，〉＝(2)2，
∴cos〈，〉＝－，〈，〉＝120°，∴二面角的大小为60°，故选C.
11.B
【解析】如下图，由抛物线定义知|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，所以∠AA1F＝∠AFA1．

又∠AA1F＝∠A1FO，所以∠AFA1＝∠A1FO．同理∠BFB1＝∠B1FO．
于是∠AFA1＋∠BFB1＝∠A1FO＋∠B1FO＝∠A1FB1．故∠A1FB1＝90°．
12.C
【解析】不妨设点F1(－3,0)，容易计算得出|MF1|＝＝，|MF2|－|MF1|＝2.
解得|MF2|＝.而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，
求得F1到直线F2M的距离d为.
13.0 【解析】依题意可得p：A＝{x|x<－2或x>10}，q：B＝{x|x<1－a或x>1＋a(a>0)}．
∵p是q的充分不必要条件， ∴A⊆B且A≠B，
，∴实数a的取值范围是0 14.＋＝1
【解析】设所求的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则A(a,0)，B(0，b)，C(，)，F(，0)．
依题意，得＝，FM的直线方程是x＝，
所以M(，)．
由于O，C，M三点共线，所以＝，
即a2－2＝2，所以a2＝4，b2＝2.
所以所求方程是＋＝1.
15.y＝±x
【解析】由双曲线的性质可得||＝b，则||＝3b.在△MF1O中，||＝a，||＝c，cos∠F1OM＝－，由余弦定理可知＝－，又c2＝a2＋b2，所以a2＝2b2，即＝，故此双曲线的渐近线方程为y＝±x.
16.
【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),直线l:y=(x-1).由解得A(3,2),B(,-).所以S△OAF=×1×2=.
17. 【解析】由“p且q”为真命题，得p，q都是真命题．
p：x2≥a在[1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；
q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，
只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，
即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，所以命题q：a≥1或a≤－2.
由,得a＝1或a≤－2.
故实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．
18.(1)在棱PA上取点E，使得＝，
连接AC，BD交于点F，
因为AD∥BC，所以＝＝，所以＝，所以，EF∥PC，
因为PC平面BDE，EF平面BDE，
所以PC∥平面BDE；
(2)取BC上一点G使得BG＝，连接DG，则ABGD为正方形．过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.连接OA，OB，OD，OG，
AP＝AD＝AB，∠PAB＝∠PAD＝60°，
所以△PAB和△PAD都是等边三角形，因此PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，
即点O为正方形ABGD对角线的交点，
以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，

则O(0,0,0)，P(0,0,1)，A(－1,0,0)，B(0,1,0)，D(0，－1,0)，G(1,0,0)，
由于棱BC的长为t，则C，
＝(－1,0，－1)，＝(0,1，－1)，＝，＝(0，－1，－1)，
设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则取m＝(－1,1,1)
同理平面PCD的法向量n＝，
由m·n＝0，解得t＝2，即BC的长为2.
19.(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.
故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.
(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k，
由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B，
即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，
于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，
因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形．
从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.
20. 【解析】(1)当y＝时，x＝，又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
由抛物线定义得，所求距离为－＝.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，由y＝2px1，y＝2px0，相减得
(y1－y0)(y1＋y0)＝2p(x1－x0)，故kPA＝＝(x1≠x0)．
同理可得kPB＝(x2≠x0)．由PA、PB倾斜率角互补知kPA＝－kPB，即＝－.
∴y1＋y2＝－2y0，故＝－2.
设直线AB的斜率为kAB，由y＝2px2，y＝2px1，相减得(y2－y1)(y2＋y1)＝2p(x2－x1)．
∴kAB＝＝(x1≠x2)．将y1＋y2＝－2y0(y0>0)代入得kAB＝＝－，所以kAB是非零常数．
21.【解析】(1)双曲线C1的焦点坐标为(,0),(-,0),
设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0,b>0),则解得
∴双曲线C2的标准方程为-y2=1.
(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).
由消去y化简得3x2-2mx-m2=0,
由Δ=(-2m)2-4×3×(-m2)=16m2>0,得m≠0.∵x1x2=-,
·=x1x2+(2x1) (-2x2)=-3x1x2,∴m2=3,即m=±.
22.以A为原点，，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，

设PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)．
(1)＝(0,0，a)，＝，∴＝0，∴⊥，∴BC⊥AP，
又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.
(2)∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，
∴D，E，
∴由(1)知， BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，
∵＝，＝，∴cos∠DAE＝＝，
∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.
(3)∵DE∥BC，又由(1)知BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°，
∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A－DE－P是直二面角．