【数学】福建省连城县第一中学2019-2020学年高二上学期月考试题

福建省连城县第一中学2019-2020学年高二上学期月考试题

一．选择题：每题5分，共60分

1．总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)

A.08　B．07   C．02  D．01

2．对于命题p：双曲线－＝1(m>0)的离心率为；命题q：椭圆＋y2＝1(m>0)的离心率为，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

3.如图所示是一样本的频率分布直方图,则由图形中的数据,可以估计众数与中位数分别是　(　　)

A.12.5　12.5 B.12.5　13     C.13　12.5  D.13　13

4．若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是(　　)

A．x＋y＝5     B.x2＋y2＝9      C.＋＝1   D．x2＝16y

5. 右图为某市去年各月的平均气温(℃)的茎叶图，则这组数据的中位数是(  )

A.19   B.20   C.21.5   D.23

6.设正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是(　　)

A.     B.    C.    D.

7.幂函数在点处的切线方程为（  ）

A.  B.  C.  D.

8.如果数据x1,x2,…,xn的平均数为,方差为s2,则5x1+2,5x2+2,…,5xn+2的平均数和方差分别为　(　　)

A.,s2    B.5+2,s2           C.5+2,25s2   D.,25s2

9．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，P是C上的点， PF2⊥F1F2，

∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(　　)

A.       B.     C. D.

10．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·＝(　　)

A．－1       B.0        C．1 D．不确定

11.下列求导运算正确的是（  ）

A.  B.  C.  D.

12.如图所示，已知F1，F2是椭圆Γ：＋＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，P是椭圆Γ上任意一点，过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹为(　　)

A．直线       B.圆       C．椭圆 D．双曲线

二．填空题：每题5分，共20分

13.某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为________.

14．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)

15．命题“∀x∈R,2x2－2ax＋9＞0”为假命题，则实数a的取值范围为________．

16. 设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左，右焦点，若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝________.

三．解答题：共70分

17．（10分）已知具有相关关系的两个变量x，y的几组数据：

(1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；

(2)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋，

并估计当x＝20时y的值．

参考公式：,=

18．（12分）已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)上一点M(m,4)到其焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点M的双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程．

19.（12分）如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，

AC∩BD＝O，A1O⊥底面ABCD，AB＝2，AA1＝3.

(1)证明：平面A1CO⊥平面BB1D1D；

(2)若∠BAD＝60°，求二面角B­OB1­C的余弦值．

20.(12分)高二（1）班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:

(1)求高二（1）班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.

(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究,求至少有1人分数在[90,100]之间的概率.

21. (12分)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

22．(12分))已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求·的最大值．

参考答案

1.D 2．A  3.B   4．B  5.B  6.D  7. A  8.C  9．D  10．B  11.D  12．B

12.解析：选B　延长F2Q，与F1P的延长线交于点M，连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的角平分线，且PQ⊥F2M，所以在△PF2M中，|PF2|＝|PM|，且Q为线段F2M的中点．又O为线段F1F2的中点，由三角形的中位线定理，得|OQ|＝|F1M|＝(|PF1|＋|PF2|)．根据椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|OQ|＝a，所以点Q的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，故选B.

13.25  14． a＋b＋c   15．(－∞，－3]∪[3，＋∞)   16.2

17.[解]　(1)散点图如图所示：...........4分

(2)依题意，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，

＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，

＝4＋16＋36＋64＋100＝220，

＝6＋24＋42＋80＋120＝272，

∴＝＝＝＝1.1，∴＝7.6－1.1×6＝1，

∴线性回归方程为＝1.1x＋1，故当x＝20时，y＝23.……………10分

18．解：(1)由抛物线的定义知4＋＝5，解得p＝2，

∴抛物线C的方程为x2＝4y……5分

(2)把M(m,4)代入x2＝4y可得m＝±4，∴点M的坐标为(±4,4)．

∵抛物线x2＝4y的焦点为(0,1)，

∴a＝1.∴双曲线的方程为y2－＝1(b＞0)．

将M(±4,4)代入上式得b2＝，∴b＝± .

∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x………………………12分

19.解：(1)证明：∵A1O⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

∴A1O⊥BD.

∵四边形ABCD是菱形，∴CO⊥BD.

∵A1O∩CO＝O，∴BD⊥平面A1CO.

∵BD⊂平面BB1D1D，

∴平面A1CO⊥平面BB1D1D...........6分

(2)∵A1O⊥平面ABCD，CO⊥BD，∴OB，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点，，， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

∵AB＝2，AA1＝3，∠BAD＝60°，

∴OB＝OD＝1，OA＝OC＝，

OA1＝＝.

则O(0,0,0)，B (1,0,0)，C(0，，0)，A(0，－，0)，A1(0,0，)，

∴＝(1,0,0)，＝＝(0，，)， ＝＋＝(1，，)．

设平面OBB1的法向量为＝(x，y，z)，

则即

令y＝，得z＝－1，∴＝(0，，－1)是平面OBB1的一个法向量．

同理可求得平面OCB1的一个法向量＝(，0，－1)，

∴＝＝，

由图可知二面角B­OB1­C是锐二面角，

∴二面角B­OB1­C的余弦值为........................12分

20.【解析】(1)因为分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,

所以高二（1）班参加校生物竞赛的人数为=25. 

分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4,频率为=0.16,

所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为=0.016………………………………6分

(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A,将[80,90)之间的4人编号为1,2,3,4,[90,100]之间的2人编号为5,6.

在[80,100]之间任取2人的基本事件有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),

(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15个.

其中,至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个,

根据古典概型概率的计算公式,得P(A)==………………………12分

21.解：设正方体的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A-xyz，

(1)依题意，得B(1，0，0)，E，A(0，0，0)，D(0，1，0)，

所以＝，＝(0，1，0)，

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，

因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，

设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，

则sin θ＝＝＝.

即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.................6分

(2)依题意，得A1(0，0，1)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，)，

设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由n·＝0，n·＝0，

得所以x＝z，y＝z.取z＝2，得n＝(2，1，2)．

设F是棱C1D1上的点，则F(t，1，1)(0≤t≤1)．

又B1(1，0，1)，所以＝(t－1，1，0)，

B1F平面A1BE，若B1F∥平面A1BE，

则·n＝0，∴(t－1，1，0)·(2，1，2)＝0，

∴2(t－1)＋1＝0，∴t＝，∴F为C1D1的中点．

这说明在棱C1D1上存在点F使B1F∥平面A1BE......................12分

22. 解：(1)由题意知＝c，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．化简得a2＝2b2，所以e＝＝...........................................4分

(2)因为△PQF2的周长为4，所以4a＝4，得a＝，

由(1)知b2＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1，且焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，

①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线方程为

x＝－1，P，Q，＝，＝，

故·＝.....................................................6分

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，

由消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，...........8分

·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2

＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1

＝＝－，..........................................10分

由k2＞0可得·∈.综上所述，·∈，

所以·的最大值是........................................12分