【数学】安徽省安庆市第十中学2018-2019学年高二下学期第一次月考（开学考）（理）（解析版） 试卷
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安徽省安庆市第十中学2018-2019学年高二下学期第一次月考（开学考）（理）1．下列有关命题的说法错误的是( )A．命题“若则x=1”的逆否命题为“若则”B．“x=1”是“”的充分不必要条件C．若为假命题，则p,q均为假命题D．对于命题p:，使得,则均有2．已知双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为( )A． B． C． D．3．已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )A． B．C． D．4．设点M(0,-5),N(0,5),△MNP的周长为36,则△MNP的顶点P的轨迹方程为( )A． (y≠0) B．(x≠0)C． (y≠0) D． (x≠0)5．若命题p的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r是p的逆命题的( )A．原命题 B．逆命题 C．否命题 D．逆否命题6．如图所示,在正三棱锥V-ABC中,D,E,F分别是VC,VA,AC的中点,P为VB上任意一点,则DE与PF所成的角的大小是 ( )A．30° B．90° C．60° D．随P点的变化而变化7．已知双曲线的焦点在x轴上，焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的标准方程为（ ）A． B． C． D．8．将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a>b>0)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则 ( )A．e1=e2 B．e1<e2 C．e1>e2 D．e1,e2之间的大小不确定9．如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,E为CB的中点,AB=PA=AD=2CD,则AP与平面PDE所成角的正弦值为 ( )A． B． C． D．10．命题p:函数y=loga(ax-3a)(a>0且a≠1)的图像必过定点(4,1),命题q:如果函数y=f(x)的图像关于点(3,0)对称,那么函数y=f(x+3)的图像关于点(6,0)对称,则 ( )A．p∧q为真 B．p∨q为假 C．p真q假 D．p假q真11．已知抛物线y2=4x的焦点为F,A,B为抛物线上两点,若O为坐标原点,则△AOB的面积为( )A． B． C． D．12．已知双曲线(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点,若|PF1|=|F1F2|,且3|PF2|=2|QF2|,则该双曲线的离心率为 ( )A． B． C．2 D．13．已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标为(x,0,z),若PA⊥AB,PA⊥AC,则点P的坐标为_______.14．双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,B为其左支上一点,线段BF与双曲线的一条渐近线相交于A,且,,其中O为坐标原点,则该双曲线的离心率为________.15．边长为1的等边三角形中，沿边高线折起，使得折后二面角为60°，点到平面的距离为____．16．已知椭圆的右焦点为，设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上，若直线AB的斜率k满足，则椭圆离心率e的取值范围为______．17．已知p:方程表示双曲线,q:斜率为k的直线l过定点P(-2,1)且与抛物线y2=4x有两个不同的公共点.若p∧q是真命题,求实数k的取值范围.（10分） 18．已知动圆过定点P(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(1)求动圆圆心C的轨迹方程;(2)过点(2,0)的直线l与动圆圆心C的轨迹交于A,B两点,求证:是一个定值（12分） 19．如图所示,在四棱锥E-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,△BCE是等边三角形,△ABE是等腰直角三角形,∠BAE=90°,且AC=BC.(1)证明:平面ABE⊥平面BCE;(2)求二面角A-DE-C的余弦值.（12分） 20．已知斜率为k的直线l经过点(-1,0),且与抛物线C:y2=2px(p>0,p为常数)交于不同的两点M,N.当k=时,弦MN的长为.(1)求抛物线C的标准方程.(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q,且直线MQ经过点B(1,-1),判断直线NQ是否过定点?若过定点,求出该点坐标;若不过定点,请说明理由.（12分） 21．如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD为直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O为AD的中点.(1)求直线PB与平面POC所成角的余弦值.(2)线段PD上是否存在一点Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.（12分）22．已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为,以坐标原点O为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x+y+=0相切.A,B分别是椭圆C的左、右顶点,直线l过B点且与x轴垂直.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设G是椭圆C上异于A,B的任意一点,过点G作GH⊥x轴于点H,延长HG到点Q使得|HG|=|GQ|,连接AQ并延长交直线l于点M,N为线段MB的中点,判断直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系,并证明你的结论.（12分）
参考答案1．C【解析】A中命题的逆否命题需将条件和结论交换后分别否定；B中方程x2-3x+2=0的根为x=1,x=2，因此“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件；C中pq为假命题，则p、q至少有一个是假命题；D中特称命题的否定是全称命题2．C【解析】∵双曲线的方程是，∴双曲线渐近线为，又∵离心率为，可得，∴，即，可得，由此可得双曲线渐近线为，故选C.3．D【解析】由题意，点与点共面,,则，只有选项D满足，.故选D.4．B【解析】由题意△MNP的周长为36,M(0,-5),N(0,5),∴|MN|=10,|PM|+|PN|=26,可知点P的轨迹是以M,N为焦点,长轴长为26除去长轴的两个端点的椭圆,所以点P的轨迹方程为+=1(x≠0).故选B.5．C【解析】根据四种命题的关系,命题p的否命题为q,命题q的逆命题为r,则r是p的逆否命题,所以r是p的逆命题的否命题.故选C.6．B【解析】设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|,<a,b>=<b,c>=<c,a>.∵D,E,F分别是VC,VA,AC的中点,∴= (c-a).连接VF,则= (c+a).∵点P在VB上,∴可设=t,∴=-= (c+a)-tb,所以·= (c-a)·= (c2-a2)- t(c·b-a·b)=0,∴⊥,∴DE与PF所成的角的大小是90°.故选B.7．A【解析】不妨设双曲线的标准方程为，所以，且，所以，双曲线的标准方程为.选A.8．B【解析】由a>b>0, -=<0,可得<，又∵e1====,e2=,∴e1<e2，故选B.9．C【解析】以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,设CD=1,则P(0,0,2),D(2,0,0),E,A(0,0,0),∴=(0,0,2),=(-2,0,2),=.设平面PDE的法向量为n=(a,b,c),则取a=3,得n=(3,2,3).设AP与平面PDE所成的角为θ,则sinθ===,∴AP与平面PDE所成角的正弦值为.10．C【解析】对于命题p,当x=4时,y=loga(4a-3a)=1,故命题p为真命题.对于命题q,如果y=f(x)的图像关于点(3,0)对称,则y=f(x+3)的图像关于原点对称,故命题q为假命题.故选C.11．B【解析】由抛物线的对称性,不妨设直线AB的斜率为正.如图所示,设抛物线的准线为l,过点A作AD⊥l,交l于D,过点B作BC⊥l,交l于C,过点B作BE⊥AD,交AD于E.由已知条件及抛物线的定义,不难求出,|AB|=2|AE|,所以直线AB的倾斜角为60°.易知F(1,0),故直线AB的方程为y=(x-1).联立直线AB的方程与抛物线的方程可求得A(3,2),B,所以|AB|==.又原点到直线AB的距离d=,所以S△AOB==.故选B.12．D【解析】连接F1Q,设F1(-c,0),F2(c,0),则|PF1|=|F1F2|=2c.由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a=2c-2a,∴由3|PF2|=2|QF2|,可得|QF2|=3c-3a,∴由双曲线的定义可得|QF1|=|QF2|+2a=3c-a.在△PF1F2和△QF1F2中,cos∠F1F2P===,cos∠F1F2Q===.由∠F1F2Q+∠F1F2P=π,可得cos∠F1F2Q+cos∠F1F2P=0,即有+=0,化简得5c=7a,所以e==.13．【解析】由已知得=(-1,-1,-1),=(2,0,1),=(-x,1,-z),由题意得即解得∴P(-1,0,2).14．【解析】不妨设点B在第二象限.由题意知OA垂直平分线段BF，设F(c,0),B(m,n),则=-,且=·,得m=,n=,代入双曲线的方程,可得-=1,又b2=c2-a2,化简并整理可得c2=5a2,∴该双曲线的离心率e==.15．【解析】如图，过D点作DE⊥BC，连AE，则AE⊥BC，∴AE为点A到直线BC的距离，
在直角三角形ADE中，AE=又BC面ADE，且BC⊂面ABC，∴面ABC⊥面ADE，AE为高线，作DH⊥AE于H，则DH⊥面ABC，
∴DH为点D到面ABC的距离，由DH•AE=AD•DE，得DH= 16．【解析】设A(x,y),则B(-x,-y),易知x≠0,M,N,由题意得·=0,即+=0,即x2+y2=1.又+=1,所以+=x2+y2,即==.因为直线AB的斜率k满足0<k≤,所以0<≤,即0<≤,又a2>1,所以1<a2≤,所以e==≥,因此e的取值范围为17．【解析】若方程-=1表示双曲线,则(2+k)(3k+1)>0,解得k<-2或k>-.由题意,设直线l的方程为y-1=k(x+2),即y=kx+2k+1,联立方程消去x并整理得ky2-4y+4(2k+1)=0,要使直线l与抛物线y2=4x有两个不同的公共点,则需满足解得-1<k<且k≠0.若p∧q是真命题,则所以k的取值范围是∪.18．【解析】(1)设动圆的圆心C(x,y),线段MN的中点为T,则|MT|==4.由题意得|CP|2=|CM|2=|MT|2+|TC|2,∴y2+(x-4)2=42+x2,∴y2=8x,即动圆圆心C的轨迹方程为y2=8x.(2)证明:易知直线l的斜率不为0,设直线l的方程为x=ky+2,A(x1,y1),B(x2,y2).联立消去x整理得y2-8ky-16=0,Δ=64k2+64>0,可得y1+y2=8k,y1y2=-16.又=(x1,y1),=(x2,y2),∴·=x1x2+y1y2=(ky1+2)(ky2+2)+y1y2=k2y1y2+2k(y1+y2)+4+y1y2=-16k2+16k2+4-16=-12,∴·是一个定值.19．【解析】(1)证明:设O为BE的中点,连接AO,CO,易知AO⊥BE,CO⊥BE.设AC=BC=2,则AO=1,CO=,可得AO2+CO2=AC2,所以AO⊥CO.又AO∩BE=O,所以CO⊥平面ABE.又CO⊂平面BCE,故平面ABE⊥平面BCE.(2)由(1)可知AO,BE,CO两两垂直,设OE=1,以O为坐标原点,OE,OC,OA分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,则A(0,0,1),E(1,0,0),C(0,,0),易得D(1,,1),故=(1,,0),=(1,0,-1),=(-1,,0),=(1,0,1).设n=(x1,y1,z1)是平面ADE的法向量,则即令y1=1,可得n=(-,1,-).设m=(x2,y2,z2)是平面DEC的法向量,则即令y2=1,可得m=(,1,-),则cos<n,m>==.易知二面角A-DE-C为锐角,所以二面角A-DE-C的余弦值为.20．【解析】(1)当k=时,直线l的方程为y= (x+1),即x=2y-1.联立消去x得y2-4py+2p=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=4p,y1y2=2p,故|MN|=|y1-y2|==4,解得p=2或p=- (舍去),所以抛物线C的标准方程为y2=4x.(2)设M(t2,2t),N(,2t1),Q(,2t2),则k==,则直线MN的方程为y-2t=(x-t2),即2x-(t+t1)y+2tt1=0,同理可得直线MQ的方程为2x-(t+t2)y+2tt2=0,直线NQ的方程为2x-(t1+t2)y+2t1t2=0.由点(-1,0)在直线MN上,可得tt1=1,即t=①.由B(1,-1)在直线MQ上,可得2+t+t2+2tt2=0,将①代入可得t1t2=-2(t1+t2)-1②,将②代入直线NQ的方程可得2x-(t1+t2)y-4(t1+t2)-2=0,易得直线NQ过定点(1,-4).21．【解析】(1)在中，，为AD的中点，所以,侧面PAD底面ABCD,PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中，连接,则,以O为坐标原点，直线OC为X轴，直线OD为Y轴,直线为Z轴建立空间直角坐标系.,,, 所以，直线PB与平面所成角的余弦值为.(2) 假设存在，则设=λ（0＜λ＜1）因为=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．设平面CAQ的法向量为=（a，b，c），则，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因为二面角Q﹣AC﹣D的余弦值为，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．所以λ=或λ=3（舍去），所以=.22．【解析】(1)由题意可得b==1.又∵椭圆C的离心率e==,a2=b2+c2,∴a2=4,∴椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设G(x0,y0),则Q(x0,2y0).易知A(-2,0),B(2,0),可得直线AQ的方程为y=(x+2),令x=2,可得M,∴N,则直线QN的方程为y-2y0=(x-x0),即2x0y0x-(-4)y-8y0=0①.又∵点G在椭圆C上,∴+=1,∴①式可化为x0x+2y0y-4=0,∴原点(0,0)到直线QN的距离为=2.又易知以AB为直径的圆O的半径为2,故直线QN与以AB为直径的圆O相切.
