【数学】安徽省定远重点中学2018-2019学年高二下学期开学考试（文）
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高二下学期开学考试（文）
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列命题错误的是( )
A． 命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题
B． 命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
C． ∀x>0且x≠1，都有x＋>2
D． “若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真
2.已知条件p：x<－3或x>1，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤－3
3.命题“∃x0∈R，－2x0＋1＝0”的否定是( )
A． ∃x0∈R，－2x0＋1≠0
B． 不存在x∈R，x3－2x＋1≠0
C． ∀x∈R，x3－2x＋1＝0
D． ∀x∈R，x3－2x＋1≠0
4.设AB是椭圆＋＝1(a>b>0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是( )
A． 98a B． 99a
C． 100a D． 101a
5.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M、N两点，O是坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为( )
A． B．
C． D．
6.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于( )
A． 4p B． 5p C． 6p D． 8p
7.设f(x)、g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时有( )
A．f(x)g(x)>f(b)g(b) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
8.已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是( )
9.已知f(x)＝2x3－6x2＋m (m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )
A． －37 B． －29
C． －5 D． 以上都不对
10.已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( )
A． B． － C． －e D． e
11.曲线y＝－在点M处的切线的斜率为( )
A． － B．
C． － D．
12.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF是等边三角形，则p等于( )
A． 6 B． 8
C． 4 D． 2
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知命题p：∃x0∈R，＋2ax0＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
14.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．
15.过P(8,3)作双曲线9x2－16y2＝144的弦AB，且P为弦AB的中点，那么直线AB的方程为________．
16.已知函数f(x)＝x4＋ax2－bx，且f′(0)＝－13，f′(－1)＝－27，则a＋b等于________．
三、解答题(共6小题,共70分)
17.已知二次函数f(x)＝ax2＋x，试问是否存在实数a，使得命题“∃x0∈[0,1]，f(x0)＜1”是否成立，若存在，求出实数a的取值范围，否则说明理由．
18.如图所示，已知椭圆的两焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|.
(1)求此椭圆的方程；
(2)若点P在第二象限，∠F2F1P＝120°，求△PF1F2的面积．
19.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点(，1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
20.(1)求过曲线y＝sinx上点P且与过这点的切线垂直的直线方程．
(2)已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．
21.已知点F是抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点，点M(0，)满足线段MF的中点在抛物线C上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线MF与抛物线C相交于A，B两点，求线段AB的长．
22.已知函数f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；
(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
参考答案
1.D 2.C 3.D 4.D 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.D 11.B 12.A
13.(0,1)
14.
15. 3x－2y－18＝0
16.18
17. 解：假设存在实数a，使得命题“∃x0∈[0,1]，f(x0)＜1”成立．
f(x)＜1即为ax2＋x＜1，
当x＝0时，0＜1恒成立；
当x∈(0,1]时，a＜＝(－)2－，
由≥1，可得(－)2－≥0，
故a＜0.
即存在实数a且a＜0，
使得命题“∃x0∈[0,1]，f(x0)＜1”成立．
18. 解：
(1)由已知得c＝1，|F1F2|＝2，所以4＝|PF1|＋|PF2|＝2a，所以a＝2.
所以b2＝a2－c2＝4－1＝3，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)在△PF1F2中，|PF2|＝2a－|PF1|＝4－|PF1|.
由余弦定理得
|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，
所以|PF1|＝.
所以＝|F1F2|·|PF1|·sin 120°＝×2××＝.
19.解 (1)由e＝，可得＝，
所以a2＝3b2，
故双曲线方程可化为－＝1.
将点P(，1)代入双曲线C的方程，
解得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立直线与双曲线方程，
⇒(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意得，
解得－1<k<1且k≠±.
所以k的取值范围为(－1，－)∪(－，)∪(，1)．
20.(1) 2x＋y－－＝0. (2) 4x－4y－1＝0
解：(1)∵y＝sinx，∴y′＝cosx，
曲线在点P处的切线斜率是：
y′|x＝＝cos＝.
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为y－＝－，
即2x＋y－－＝0.
(2)∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，
则y′|x＝x0＝2x0，
又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，
∴k＝2x0＝1，即x0＝，
所以切点为M.
∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.
21. 解：
(1)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(，0)，
∴线段MF的中点为(，)，
∵线段MF的中点在抛物线C上，∴()2＝2p×，
∵p＞0，∴p＝，
∴抛物线C的方程为y2＝x.
(2)直线MF的方程为＋＝1，即4x＋y－1＝0，
与y2＝x联立消去y得，16x2－10x＋1＝0，
解得x＝或，
当x＝时，y＝－；当x＝时，y＝，
∴A(，－)，B(，)或B(，－)，A(，)，
∴|AB|＝＝.
22.(1)a＝3，b＝3. (2) 最大值为1
解：(1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.
(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝a2时，h(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋a2.
令h′(x)＝0，得x1＝－，x2＝－.
a>0时，h(x)与h′(x)的情况如下：
所以函数h(x)的单调递增区间为和；单调递减区间为.当－≥－1，即0<a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－a2.
当－<－1，且－≥－1，即2<a≤6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h＝1.
当－<－1，即a>6时，函数h(x)在区间内单调递增，在区间内单调递减，在区间上单调递增．又因h－h(－1)＝1－a＋a2＝(a－2)2>0，
所以h(x)在区间(－∞，－1)上的最大值为h＝1.
