【数学】甘肃省武威第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试
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一、单项选择（（共12小题，每小题4分，共48分）） |
1、若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A. B. C. D.
2、命题“对任意的”的否定是
A. 不存在 B. 存在
C. 存在 D. 对任意的
3、方程不能表示的曲线为 （ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆
4、从这个数字中选个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
5、过椭圆， 的左焦点，作轴的垂线交椭圆于点， 为右焦点.若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6、从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球
7、 已知某8个数据的平均数为8，方差为4，现又加入一个新数据8，此时这9个数的平均数为，方差为s2，则（ ）
A．=8，s2＜4 B．=8，s2＞4 C．＞8，s2＜4 D．＞8，s2＞4
8、在矩形中， ， ,点为矩形内一点，则使得的概率为（ ）
A. B. C. D.
9、若点满足线性条件，则的最大值为
A. B. C. D.
10、当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，2] B. [2，＋∞)
C. [3，＋∞) D. (－∞，3]
11、已知分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点， 为的内心，若，则该椭圆的离心率是
A. B. C. D.
12、过双曲线的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（（共4小题，每小题4分，共16分）） |
13、为了调查某班学生做数学题的基本能力，随机抽查部分学生某次做一份满分为100分的数学试题，他们所得分数的分组区间为， ， ， ， ，由此得到频率分布直方图如下图，则这些学生的平均分为__________.
14、是双曲线的右支上一点， 分别是圆和上的点，则的最大值为__________．
15、某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为__________．
16、设为抛物线的焦点, 为抛物线上不同的三点, 则_________.
三、解答题（（共6小题，共56分）） |
17、（8分）已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，
（1）求a，b；
（2）解不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0.
18、（8分）设：实数满足，其中；：实数满足.
（1）若，且为真，为假，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19、（10分）如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x （吨）与相应的生产能耗 y （吨标准煤）的几组对照数据．
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的回归直线方程 =a+bx；
（2）已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，由（1）求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
20、（10分）已知双曲线：.
（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且，求实数的值；
（2）过点作直线与双曲线交于不同的两点，若弦恰被点平分，求直线的方程.
21、（12分）已知抛物线：上一点到焦点距离为1，
（1）求抛物线的方程；
（2）直线过点与抛物线交于两点，若，求直线的方程
22、（12分）已知椭圆（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
参考答案
一、单项选择
1-5、BBCDC 6-10、CADDD 11-12、AB
二、填空题
13. 64 14. 9 15. 16 16. 6
三、解答题
17、【答案】解：
（1）因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b
是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b>1.由根与系数的关系，得
（2）所以不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0，（6分）
即x2－（2＋c）x＋2c<0，即（x－2）（x－c）<0.（7分）
①当c>2时，不等式（x－2）（x－c）<0的解集为{x|2<x<c}；（9分）
②当c<2时，不等式（x－2）（x－c）<0的解集为{x|c<x<2}；（11分）
③当c＝2时，不等式（x－2）（x－c）<0的解集为？.（12分）
综上所述：当c>2时，不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0的解集为{x|2<x<c}；
当c<2时，不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0的解集为{x|c<x<2}；
当c＝2时，不等式ax2－（ac＋b）x＋bc<0的解集为？.
试题分析：解：(1)因为不等式ax2－3x＋6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，
所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且b＞1.
由根与系数的关系，得解得6分
(2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0，即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0.
①当c＞2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
②当c＜2时，不等式 (x－2)(x－c)＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
③当c＝2时，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集为.
∴当c＞2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；
当c＜2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；
当c＝2时，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集为.
18、【答案】(1);(2).
试题分析：第一步首先把a=1代入求出p所表示的含义，解不等式组搞清q的含义，根据为真，为假，求出x的范围，第二步是的充分不必要条件的等价关系为，说明所表示的集合是所表示的集合的真子集，针对为正、负两种情况按要求讨论解决.
试题解析：
（1）当为真时，当为真时，
因为为真，为假，所以，一真一假，
若真假，则，解得；
若假真，则，解得，
综上可知，实数的取值范围为.
（2）由（1）知，当为真时，，
因为是的充分不必要条件，所以是的必要不充分条件，
因为为真时，若，有且是的真子集，
所以，解得：，
因为为真时，若，有且是的真子集，
所以，不等式组无解．
综上所述：实数的取值范围是．
19、【答案】解：（1）由题意可得：，
则：．
（2）由（1）的回归直线方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为90﹣（0.7×100+0.35）=19.65（吨标准煤）
20、【答案】(1)m=±2(2)4x﹣y﹣2=0
试题分析：（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2），根据弦长公式即可求出，
（Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，两式相减，再由中点坐标公式和直线的斜率公式，化简整理可得MN的斜率，再由点斜式方程可得所求直线方程
试题解析：
解：（Ⅰ）分别设A，B的坐标为（x1，y1），（x2，y2）
由，消y可得，x2﹣4mx+2（m2﹣1）=0，
∴x1+x2=4m，x1？x2=2（m2﹣1），
∴|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1？x2=16m2﹣8（m2﹣1）=8（m2+1），
∴|AB|=？=4，解得m=±2，
（Ⅱ）分别设M，N的坐标为（x3，y3），（x4，y4），可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，
两式相减，可得（y3﹣y4）（y3+y4）=（x3﹣x4）（x3+x4），
由点P（1，2）为MN的中点，
可得x3+x4=2，y3+y4=4，
∴4（y3﹣y4）=×2（x3﹣x4），∴kMN==4经检验
即直线l的方程为y﹣2=4（x﹣1），即为4x﹣y﹣2=0
21、【答案】（1）（2）
试题分析：（1）利用抛物线的定义建立方程，求出p，即可求出抛物线C的方程；（2）联立得，利用OM⊥ON，，即，求出k，即可求直线的方程
试题解析：(1)依据抛物线的定义知：到抛物线焦点F的距离为，所以，抛物线的方程为
（2）依题意，直线的方程设为，联立得，
由，得；
∴即
∴即解得
所以直线的方程设为即
22、【答案】(1)(2)为定值，该定值为0
试题分析：（1）由椭圆的离心率公式，求得a2=4b2，将M代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线l：代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可取得k1+k2=0.
试题解析：
（1）依题意，
解得，故椭圆的方程为；
（2），下面给出证明：设，，
将代入并整理得，
，解得，且
故，，
则，
分子=
，
故为定值，该定值为0.
