【数学】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年高二下学期开学考试（理）
展开黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2018-2019学年
高二下学期开学考试（理）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 抛物线的准线方程为，则实数的值为（ ）
A.8 B.-8 C. D.
2. 下面四个条件中，使成立的充分不必要条件是 ( )
A． B． C． D．
3．分别写有数字1,2,3,4,的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是 ( )
A. B. C. D.
4.设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A相连，则弦长超过半径的概率为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知命题p：∃n∈N,2n>1000，则¬p为( )
A．∀n∈N,2n≤1000 B．∀n∈N,2n>1000 C．∃n∈N,2n≤1000 D．∃n∈N,2n<1000
6.4位二进制数，能表示的最大的十进制数是（ ）
A.3 B.4 C.15 D.63
7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数 后，输出的 ，那么 的值为
A．3 B．4 C．5 D．6
8.甲乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲乙下成和棋的概率为（ ）
A．50% B．30% C．10% D．60%
9. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各 名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为 ，乙组数据的平均数为 ，则 的值分别为
A.2,5 B. 5,5 C.5,8 D.8,8
10．三对夫妻站成一排照相，则仅有一对夫妻相邻的站法总数是（ ）
A. 288 B. 240 C. 144 D. 72
11.已知双曲线的渐近线与相切，则双曲线的离心率是（ ）
A. B. C. D.
12.已知直线和直线，若抛物线上的点到直线和的距离之和的最小值为2，则抛物线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）
13.将参加2012年7月21日北京抗洪的1000名群众编号如下：0001,0002,0003，…1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001,0002，…0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则被抽取的第41个号码为_____________.
14.若 的展开式中各项系数的和为32，则该展开式中只含字母且的次数为1的项的系数为________________.
15. 已知抛物线 ： 与点，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 两点，若 ，则 ．
16. 过点 作斜率为 的直线与椭圆 相交于 ， 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的离心率等于 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. (本小题满分10分)
已知曲线的极坐标方程是，在以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线所有点的横坐标都伸长为原来的3倍，得到曲线．
（1）求曲线的参数方程；
（2）直线过点，倾斜角为，与曲线交于两点，求的值．
18. (本小题满分12分)
某种产品的广告费用支出 万元与销售额 万元之间有如下的对应数据：
（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
其中：参考公式： ，，
参考数据：，
（2）据此估计广告费用为 万元时，所得的销售收入．
19. (本小题满分12分)
某家庭记录了使用了节水龙头 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头 天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 的概率；
20. (本小题满分12分)
如图，已知点 是 轴左侧（不含 轴）一点，抛物线 上存在不同
的两点 ， 满足 ， 的中点均在 上．
（1）设 中点为 ，证明： 垂直于 轴；
（2）若 是半椭圆 上的动点，求 面积的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆的离心率为，其左顶点A在圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若P为椭圆C上不同与点A的点，直线AP与圆O的另一个交点为Q，问：是否存在点P，使得？若存在，求出直线AP的斜率．
22. (本小题满分12分)
在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，焦距为 ．
（1）求椭圆 的方程．
（2）如图，该直线 交椭圆 于 ， 两点， 是椭圆 上的一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ，， 是 的两条切线，切点分别为 ，，求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率．
参考答案
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
B | A | B | A | D | B | C | D | C | C | C | D |
13. 0215
14. 1
15. 2
16.
17.（1） 因为直线 的参数方程为 （ 为参数）．
所以直线 的普通方程是 ，
曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程是 ，
依题意直线 与圆 相切，则 ， ………………………5分
解得 或 ，因为 ，所以 ．
（2） 如图，不妨设 ，，则 ，，
所以，即， 时，最大值是 …………10分
18.（1） ，
，………………2分
，
，
，………………………4分
，………………………6分
因此回归直线方程为 ； ………………………8分
（2） 当 时，预计 的值为 ．
故广告费用为 万元时，所得的销售收入大约为 万元． ………12分
19. （1） 利用组中值估算抽样学生的平均分：
估计这次考试的平均分是 分． ………………………6分
（2） 从 中抽取 个数全部可能的基本结果有共 个． …………8分
如果这 个数恰好是两个学生的成绩，则这 个学生在 段，而 的人数是 人，设这 人的成绩是 ，则事件 ：" 个数恰好是两个学生的成绩"包括的基本结果有 ，
共有 个．………………………10分
所以所求的概率为 ………………………12分
20. （1） ………………………4分
（2） ………………………5分
当且仅当即时取=号
即
所以时, ………………………12分
21.(1)椭圆左顶点在圆上，所以，且离心率为，所以椭圆方程为
. ………4分
（2）设点，设直线AP的方程为
与椭圆方程联立得，得到
………………………5分
因为-4为其中一个根，所以，所以，
因为圆心到直线AP的距离为， 所以 ……………9分
因为，所以………………………10分
所以，解得，所以直线AP斜率为.………………………12分
22. （1） 由题意知， 所以椭圆 的方程为 ； …………………4分
（2） …………………5分
…………………6分
存在定点，使得，则点必在轴上
………………………12分
．
