【数学】内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二下学期开学考试（理）
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高二下学期开学考试（理）
【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.:点在直线上；点在抛物线上 ，则使“”为真命题的一个点是（ ）
A. B. C. D.
2．设α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的为（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥ B．若m∥，n⊂α，则m∥n
C．若⊥β，m⊂α，则m⊥β D．若m⊥β，m⊂α，则⊥β
3.已知直线，，点P为抛物线上的任一点，则P到直线的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4.设，则“”是直线与直线平行的（）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，是线段上的点，且，当点在圆上运动时，则点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
7.以为中点的抛物线的弦所在直线方程为（ ）
A. B. C. D.
8.三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为6，点M在棱CC1上，则四棱锥M﹣ABB1A1的体积为（）
A． B．1 C．2 D．不能确定
9. 已知某三棱锥的三视图如图所示，则此三棱锥的四个面的面积中，最大面积是（ ）
A. B. C. D.
10.已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为30°的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线C：的两个顶点分别为A，B，点P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的倾斜角分别为．若，则C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
12．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝，AA1＝4，D为A1B1的中点，E为棱BB1上的点，AB1⊥平面C1DE，且B1，C1，D，E四点在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．14π B．12π C.11π D．9π
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答题卡指定位置）
13.若x,y满足,则目标函数z=x-y的最小值为_____________.
14.在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，AB＝2，A1A＝4，M为A1A的中点，则异面直线AD1与BM所成角的余弦值为
15.有下列四个命题:
①若是的充分不必要条件，则是的必要不充分条件；
②若命题，则；
③在中，是的充要条件；
④命题：当时方程表示焦点在轴上的椭圆，为真命题.
其中真命题的个数有_____________.
- 已知双曲线：，点为的左焦点，点为上位于第一象限内的点，关于原点的对称点为且，，则的离心率为__________.
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知的内角的对边分别为，且.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若的面积，求的值.
18.（本小题满分12分）
设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列的前项和，求的最小值.
19（本小题满分12分）
如图.在中，分别为的中点，为的中点，
,,将沿折起到的位置，使得平面
,为的中点，如图.
（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）求证：.
20. （本小题满分12分）
已知圆过两点，且圆心在上．
（Ⅰ求圆的方程；
（Ⅱ）设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.
21. （本小题满分12分）
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5，分别在稜上，且.
（Ⅰ）求截面与截面所成的二面角的余弦值；
（Ⅱ）取的中点，在线段上是否存在点使得与面所成角的正弦值为，若不存在请说明理由.
22. （本小题满分12分）
已知椭圆，为其右焦点，过垂直于轴的直线与椭圆相交所得的弦长为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于两点，以线段为邻边作平行四边形，其中顶点在椭圆上，为坐标原点，求的取值范围.
参考答案
1-12、CDDCBD BADAAD
13.; 14.; 15.个； 16.
17. 解(1) ① ………………………………2分
由正弦定理：有…………………………5分
（2）………………………………………………6分
………………………………………………………………………………7分
由余弦定理有：………9分
…………………………………………………………………………10分
18.设为等差数列，为数列的前项和，已知，为数列的前项和，求的最小值.
18：解（1）设等差数列的公差为d由题可知…2分
……………………………………………………………………4分
……………………………………………………………5分
………………………………………6分
是以-7为首相，1为公差的的等差数列……8分
…………………………………………10分
…………………………………………12分
19.（1）证明：取线段的中点，连接.
，的中点，。
的中点，.
,为平行四边形，
.
（2）证明：的中点且.
的中点，.
..
在中，,
.
20、解（I）线段AB的中点为(0,0)，其垂直平分线方程为…………………1分
解方程组，解得，所以圆M的圆心坐标为(-1,1)，…………3分
半径.………………………………………………………4分
故所求圆M的方程为 …………………………………………6分-
（II）如图，由题知，四边形PCMD的面积为
…………………………………9分
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可。
即在直线3x - 4y＋27＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，所以
………………………………11分
所以四边形PCMD面积的最小值为
.…………………………………12分
21.解(1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC，
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且AA1垂直于这两个平面的交线AC，
所以AA1⊥平面ABC. AA1⊥AC，AA1⊥AB.
由题知AB＝3，BC＝5，AC＝4，所以AB⊥AC.
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，则
即令z＝3，则x＝0，y＝4，所以n＝(0,4,3)．
同理可得，平面的法向量为m＝(-3,2,6)，
所以cos〈n，m〉＝＝.
由题知截面与截面所成的二面角为锐二面角，
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为.
（2）由已知得设M(x，y，z)是线段A1N上一点，
所以解得
所以化简得
此方程无解，所以不存在在点使得与面所成角的正弦值为.
22解：（I）由已知得，解得，………………………………3分
椭圆的方程为………………………………………………………4分
（II）设
由已知得,…………………………5分
由消去得…………………6分
则…………………7分
又…………9分
又
…………………10分
.…………………………………………………………………11分
的取值范围是 …………………………………………………12分
