【数学】安徽省滁州市定远县育才学校2019-2020学年高二上学期入学考试试题 (1)
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学年高二上学期入学考试试题
第I卷（选择题 60分）
一、选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分。）
1.已知 是偶函数，且 ，则 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图是某个集合体的三视图，则这个几何体的表面积是（ ）
A. B.
C. D.
3.点 在直线 上运动， ， ，则 的最小值是（ ）
A. B. C.3 D.4
4.若对圆上任意一点， 的取值与无关，则实数的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
5..如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是 ( )
A. AC=BC B. VC⊥VD
C. AB⊥VC D. S△VCD·AB=S△ABC·VO
6.已知向量满足， ， 的夹角为，如图，若， ， ，则为（ ）
A. B. C. D.
7.等差数列{}的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则{}前6项的和为（ ）
A. ﹣24 B. ﹣3 C. 3 D. 8
8.设函数满足对任意的，都有，且，则（ ）
A. 2016 B. 2017 C. 4032 D. 4034
9.函数的图像的一条对称轴为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为，将绕坐标原点逆时针旋转至，过点作轴的垂线，垂足为．记线段的长为，则函数的图象大致是（ ）
A B.
C. D.
11.若直角坐标平面内的两个不同点 、 满足条件：① 、 都在函数 的图像上；② 、 关于原点对称，则称点对 是函数 的一对“友好点对”（注：点对 与 看作同一对“友好点对”）．已知函数 ,则此函数的“友好点对”有（ ）对．
A.0 B.1 C.2 D.3
12.将函数f(x)＝sin2xsin＋cos2xcos－sin(＋)的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在[0， ]上的最大值和最小值分别为 ( )
A. ，－ B. ，－ C. ，－ D. ，
第II卷（非选择题 90分）
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分。）
13.在中，角所对边分别为，若，
则__________．
14.如图，在正方体AC1中，AA1与B1D所成角的余弦值是________．
15.已知是定义在上的偶函数，并且，当时，
，则的值为______.
16.给出下列四个命题：
①的对称轴为；
②函数的最大值为2；
③函数的周期为2π；
④函数在上是增函数．
其中正确命题是_________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分。）
17. （12分）已知
⑴若，求函数的定义域；
⑵当时，函数有意义，求实数的取值范围.
18. （10分）如图所示，已知垂直于圆所在平面， 是圆的直径， 是圆的圆周上异于的任意一点， 且，点是线段的中点.
求证： 平面.
19. （12分）已知， ，设.
（1）求函数的最小正周期；
（2）由的图象经过怎样变换得到的图象？试写出变换过程；
（3）当时，求函数的最大值及最小值.
20. （14分）如图所示，某村积极开展“美丽乡村•生态家园”建设，现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园，给村民休闲健身提供去处．点M，N分别在边AB，AD上．
（Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，求∠MCN的余弦值；
（Ⅱ）由于村建规划及保护生态环境的需要，要求△AMN的周长为2千米，请探究∠MCN是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．
21. （12分）已知数列中， ， （）.
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）设， ，试比较与的大小.
22. （10分）某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，2000元．甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工一件甲所需工时分别为1，2，加工一件乙设备所需工时分别为2，1．A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500，分别用表示计划每月生产甲，乙产品的件数．
（Ⅰ）用列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
（Ⅱ）问分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入．
参考答案
一、选择题（本题有12小题，每小题5分，共60分。）
1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 7.A 8.C 9.C 10.B 11.B 12.C
二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分。）
13. 14. 15.3 16.①②
三、解答题（本题有6小题，共70分。）
17. （12分）解：(1)当
则要 解得
即
所以 的定义域为
(2)当 时,令
则有意义,
即在上恒成立
即在上恒成立.
因为
当时， 所以
所以
18. （10分）证明：∵平面，∴，
又∵是的直径，∴
而，∴平面
又∵平面，∴
∵且，∴平面.
19. （12分）解：（1）∵
∴的最小正周期.
（2）把的图象上所有点向左平移个单位得到的图象；再把
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到
的图象；再把的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变得到.
（3）∵，∴.
∴当，即时， 有最大值，
当，即时， 有最小值.
20. （14分）解:（Ⅰ）当点M，N分别是边AB，AD的中点时，设∠DCN=∠BCM=θ，则∠MCN= ﹣2θ，
由条件得CD=BC=1，DN=BM= ，CN=CM= ，
所以sinθ= ，cosθ= ，
所以cos∠MCN=cos（ ﹣2θ）=sin2θ=2sinθcosθ= ，
即∠MCN的余弦值是 ．
（Ⅱ）设∠BCM=α，∠DCN=β，AM=x，AN=y，则BM=1﹣x，DN=1﹣y，
在△CBM中，tanα=1﹣x，
在△CDN中，tanβ=1﹣y，
所以tan（α+β）= = = ，（*）
因为△AMN的周长为2千米，
所以x+y+ =2，
化简得xy=2（x+y）﹣2，
将上式代入（*）式，可得
tan（α+β）= = = =1，
又，
所以α+β= ，
所以∠MCN是定值，且∠MCN= ．
21.解：（1）解：∵， （），
∴，即.
∴是首项为，公差为的等差数列.
从而.
（2）∵，由（1）知.
∴（）
∴而，
∴当时，有；
当时，有.
22. （10分）解：（Ⅰ）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，
约束条件是，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分
（Ⅱ）设每月收入为z千元，目标函数是z=3x+2y
由z=3x+2y可得y=﹣x+z，截距最大时z最大．
结合图象可知，z=3x+2y在A处取得最大值
由 可得A（200，100），此时z=800
故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．
