【数学】贵州省凯里市第一中学2019-2020学年高二上学期开学考试试题(解析版)
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参考答案
第I卷 选择题 共60分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | A | C | D | B | A | C | B | A | C | D | B |
1．【解析】由题知，则，故选.
2．【解析】由， ，则，
故选A.
3．【解析】由，则，解得，故选C.
4．【解析】由，，，则，
故选D.
5．【解析】由，则，又由余弦定理得
，由，则，故选B.
6．【解析】因为每一尺的重量构成等差数列，，，，数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选A．
7．【解析】由题知，几何体的体积为，故选C.
8．【解析】由，
设平移个单位长度，则，解得，则只需将函数的图像向
右平移个单位长度可得到函数的图像.故选B.
9．【解析】由题知，，则两圆心的距离为
，，又由为圆上一点， 为圆上一点，
则，故选A.
10．【解析】取中点为，连接,在正方体中为底面 的中心，为的中点,易知：,异面直线与所成角为
设正方体边长为2，在中：，
故答案选C.
11．【解析】由可知为的重心，取的中点，则有，所以，则，故选D.
12．【解析】由则，
即，则的周期，
又时，，且为偶函数，
则可做出与在的图像
如图所示，则关于的方程
在上跟的个数为个，故选B.
第II卷 非选择题 共90分
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
题号 | 13 | 14 | 15 | 16 |
答案 | ①② |
13．【答案】
【解析】
14．【答案】
【解析】不等式组对应的平面区域如图所示，
的几何意义是可行域的点
与点所连直线的斜率.可知，
结合图形可得，故的最小值为
15．【答案】
【解析】如图由平面，则可在四面体的基础上构造长方体，可知长方体的外接球与四面体的外接球相同长方体的体对角线为外接球的直径
， 所以，则
16．【答案】①②
【解析】
①若，则的最大值为，
，正确
②当时，
，时等号成立，正确
③最小值为，取 错误
④只有都为正数时，才成立，均为负数时也成立.
故答案为①②
三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
【解析】（I）由，
则由正弦定理得：，
所以
又，所以
因为，解得．………………………………… 5分
（II）由，由正弦定理得，即
则，由，则，则
所以，则
所以 …………………10分
18. （本小题满分12分）
【解析】（I）证明：因为为的中点，则，
所以.
则四边形为平行四边形，
所以.
又由平面，平面，
所以平面………………………………………………………………………6分
（II）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.··············································12分
19. （本小题满分12分）
【解析】（I）设公差为，又因为，，等比数列.
，解得：或（舍去）
·································································6分
（II）由（I）可知
································································12分
20.（本小题满分12分）
【解析】证明：（Ⅰ） 由题知在直角梯形中，，
，
又
所以平面
又平面，··························································6分
(Ⅱ) （文）作的中点，连接
由，，则
又（Ⅰ）知平面
由
所以平面
由，，则
则
……………………………..12
(Ⅱ) （理）作的中点，连接
由，，则
又（Ⅰ）知平面，由，所以平面
则可过点作平行于的直线建立空间直角坐标系，
由，，则，
则，
则
设平面的一个法向量为
则即
令，则，则
易知为平面的一个法向量，
设平面与平面所成的角为，
则……………………………..12
21．（本小题满分12分）．
【解析】（I）由题意知，汽车从地匀速到地所用时间为，
全程成本为························································6分
（II）当时，
当且仅当时取等号
所以汽车应以的速度行驶，才能使得全程运输成本最小······················12分
22．（本小题满分12分）
【解析】（I）由于直线与圆不相交，所以直线的斜率存在，
设直线方程为 ，圆的圆心到直线的距离为，
因为直线被圆截得的弦长为 ，
所以 ，又 ，从而
即或
所以直线的方程为或 .
·································································6分
(II) 设点满足条件，由题意分析可得直线和的斜率均存在且不为，
不妨设直线的方程为，则直线方程为 ，
因为和的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，
所以圆的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，
即
整理得
即
或
因为的取值有无穷多个，所以 或
解得 或
这样的点只可能是点 或点 .
································································12分
