【数学】贵州省铜仁市第一中学2019-2020学年高二上学期入学考试（理）
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高二上学期入学考试（理）
满分：150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1．本试卷分为第I卷（选择题)和第II卷（非选择题)两个部分，共150分.
2．请将答案正确填写在答题卡上.
第I卷（选择题)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合P＝{x|}，集合Q＝{y|}，则P与Q的关系是 ( )
A． B． C． D．
2．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则的值是 ( )
A．10 B．0 C．15 D．12
3．已知直线的倾斜角为45°，在轴上的截距为，则此直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．的内角,,的对边分别为,,，若 ,则等于（ ）
A． B． C． D．或
5. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，以下四个结论：
①直线DM与CC1是相交直线；②直线AM与NB是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．
其中正确的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知数列是等比数列，且，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．0或4
7．已知圆上的一动点到直线的最短距离为,则值为( )
A． 1 B．3 C． D．
8．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋2b的最小值是 ( )
A． B． C． D．
9．已知,,,且向量与向量垂直,则的值为( )
A．-2 B．0 C．2 D．1
10．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
11. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．
结合上述观点，可得的最小值为( )
A． B． C． D．
12．已知点M(x0，y0)到直线x＋3y+2＝0与直线3x＋y＋3＝0的距离相等，且y03x0＋1，则的最大值是( )
A． B．1 C． D．
第II卷（非选择题)
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13. 已知的顶点为A(1,2)，B(3,1)，C(3，4)，则AB边的中线所在直线的斜率为 ．
14. 某几何体的三视图如下图所示，则其表面积为 .
15．不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是 ．
16．如上图所示，在矩形中， ,点为的中点， 为线段（端点除外）上一动点现将沿折起，使得平面平面设直线与平面所成角为，则的最大值为 ．
三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
18．已知直线，与直线．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值。
19. 在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．
(1)求cos∠ADB；
(2)若DC＝，求BC．
20．已知动点到点与点的距离之比为2，记动点的轨迹为曲线C.
求曲线C的方程；
过点作曲线C的切线，求切线方程．
21．已知在直四棱柱中，
，，．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
22．已知以点为圆心的圆与直线相切.过点的动直线与圆相交于，两点，是的中点，直线与相交于点.
（1）求圆的方程;
（2）是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由.
参考答案
一、 选择题
1-5、BCBAC 6-10、CCDAD 11-12、BA
二、 填空题
13. 14. 15. 16.
三、 解答题
17. （Ⅰ）设公差为d，由题意可得 ，
即d2﹣d=0，解得 d=1或d=0（舍去）
所以 an=1+（n﹣1）=n．
（Ⅱ）∵，故 数列{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列．
∴数列{bn}的前n项和．
18. （1）
（2）或
时，重合，舍去，所以；
19. (1)在△ABD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠ADB＝，
∵∠ADB＜90°，∴cos∠ADB＝＝．
(2)∠ADB＋∠BDC＝，∴cos∠BDC＝cos(－∠ADB)＝sin∠ADB，∴cos∠BDC＝cos(－
∠ADB)＝sin∠ADB，∴cos∠BDC＝．
∴＝.∴BC＝．
20. （1）设动点的坐标为，
则，
所以，化简得，
因此，动点的轨迹方程为；
（2）当过点的直线无斜率时，直线方程为，
圆心到直线的距离等于，此时直线与曲线相切；
当切线有斜率时，不妨设斜率为，
则切线方程为，即，
由圆心到直线的距离等于半径可知，，解得．
所以，切线方程为．
综上所述，切线方程为或．
21. （1）设是的中点，连结，则四边形为正方形，
．故，，，，即．
又，平面，
（2）由（I）知平面，
又平面，，
取的中点, 连结，又，则．
取的中点，连结，则,.
为二面角的平面角．
连结，在中，，
，
取的中点，连结，，
在中，，，．
．
- 二面角的余弦值为．
22. (1)设圆的半径为.圆与直线相切,
.
圆的方程为.
（3） .
=.
当直线与轴垂直时，得，则又,
.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
由解得.
.
.
综上所述，是定值，且.
