【数学】湖南省双峰县第一中学2019-2020学年高二下学期入学考试试题(解析版)

湖南省双峰县第一中学2019-2020学年

高二下学期入学考试试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1、一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法共有(　　)

A．37种　　　　B．1 848种    C．3种   D．6种

2、下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)

A．   B．y＝2x－1  C．y＝lnx     D．y＝x2＋1

3、 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（ ）

A、     B、    C、    D、

4、6个人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为(　　) 

 A．A      B．3A      C．A·A      D．A·A

5、从1、2、3、4、5中任取两个不同的数，事件A为“取到的两个数之和为偶数”，事件B为“取到的两个数均为偶数”，则(              )

A、  B、  C、  D、

6、9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品，抽出产品中至少有2件一等品的抽法种数为(　　)

A．81　　　　B．60       C．6   D．11

7、天气预报，在假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为（              ）

A、0.2  B、0.3  C、0.38  D、0.56

8、某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(x)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝（    ）

A、0.7  B、0.6  C、0.4  D、0.3

9、已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则n的值为（  ）  

A、14  B、10  C、14或23  D、10或23

10、[2018·全国卷Ⅱ]函数f(x)＝的图象大致为(　　)

A     B  C  D

11、已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　) 

A．(－∞，0]    B．(－∞，1]  C．[－2,1]   D．[－2,0]

12、已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（   ）

A．   B． C． D．

二、填空题（每小题5分，共20分）

13、6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)

14、在展开式中，常数项为展开式的第      项

15、书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有      种不同的插法（具体数字作答）

16、定义在R上的函数满足，且对任意的不相等的实数，有成立，若关于x的不等式在上恒成立，则实数m的取值范围________.

三、解答题（17题10分，其余各题12分，共70分）

17、一台机器在一天内发生故障的概率为0.1.若这台机器在3个工作日内，不发生故障，可获利5万元；发生1次故障可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次故障要亏损1万元.这台机器在3个工作日内可能获利的均值是多少？

18、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量与向量共线.

（1）求B；（2）若，，且，求BD的长度.

19、如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，.

（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值.

20、2019年世界海洋日暨全国海洋宣传日主场活动在海南三亚举行，此次活动主题为“珍惜海洋资源保护海洋生物多样性”，旨在进一步提高公众对节约利用海洋资源、保护海洋生物多样性的认识，为保护蓝色家园做出贡献.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”，为了响应世界海洋日的活动，2019年12月北京某高校行政主管部门从该大学随机抽取部分大学生进行一次海洋知识测试，并根据被测验学生的成绩（得分都在区间内）绘制成如图所示的频率分布直方图.

若学生的得分成绩不低于80分的认为是“成绩优秀”，现在从认为“成绩优秀”的学生中根据原有分组按照分层抽样的方法抽取10人进行奖励，最后再从这10人中随机选取3人作为优秀代表发言.

（1）求所抽取的3人不属于同一组的概率；

（2）记这3人中，为测试成绩在内的人数，求的分布列和数学期望.

21、已知椭圆的焦距为，点在上.

（1）求的方程；

（2）过原点且不与坐标轴重合的直线与有两个交点，点在轴上的射影为，线段的中点为，直线交于点，证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.

22、已知函数 ．

（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；

（2）若函数f（x）在 上为单调增函数，求a的取值范围；

（3）设m，n为正实数，且m>n，求证： ．

参考答案

1、选A　 根据分类加法计数原理，得不同的取法为N＝12＋14＋11＝37(种)．

2、选A   由于y＝2x－1，y＝lnx是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝log2|x|是偶函数又有零点，故选A.

3、选A   冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有种不同的结果。所以选A

4、选D　 甲、乙、丙3人站在一起有A种站法，把3人作为一个元素与其他3人排列有A种，共有A·A种．

5、选B

6、选A　分三类：恰有2件一等品，有CC＝60种取法；恰有3件一等品，有CC＝20种取法；恰有4件一等品，有C＝1种取法．∴抽法种数为60＋20＋1＝81.

7、选C

8、选B

9、选C    由题意得，即，化简得，解得n=14或n=23

10、选B    ∵ y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，

∴ f(x)＝是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．

当x＝1时，f(1)＝＝e－>0，排除D选项．又e>2，∴ <，∴ e－>1，排除C选项．

11、选D   |f(x)|＝的图象如图，

由对数函数图象的变化趋势可知，要使ax≤|f(x)|，则a≤0，且ax≤x2－2x(x<0)，即a≥x－2对任意x<0恒成立，所以a≥－2.综上，－2≤a≤0.故选D.

12、选D     绘制函数的图象如图所示，

令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，

令，由题意可知：

，据此可得：.即的取值范围是.

本题选择D选项.

13、答案：480    解析：法一：先把除甲、乙外的4个人全排列，共有A种方法．再把甲、乙两人插入这4人形成的五个空位中的两个，共有A种不同的方法．故所有不同的排法共有A·A＝24×20＝480(种)．

法二：6人排成一行，所有不同的排法有A＝720(种)，其中甲、乙相邻的所有不同的排法有AA＝240(种)，所以甲、乙不相邻的不同排法共有720－240＝480(种)．

14、答案：13  解析：，由题意得,解得r=12，

所以，在展开式中，常数项为展开式的第13项

15、答案：504  解析： 

16、答案：

解析： 定义在R上的函数满足 为偶函数

对任意的不相等的实数，有成立

在 上单调递减,在 上单调递增

由在上恒成立

得在上恒成立

在上恒成立,即对恒成立

此时 且对 恒成立

设,则令,解得

, 随 的变化如下表

当时,

设,则当时,

在 上单调递减,即当 时,

则.综上所述,

17、解：设这台机器一周内可能获利X万元，

则X的可能取值为5、2.5、0、-1………………………………………1分

……………………………………5分

X的分布列如下：

……………………………………7分

所以，这台机器在3个工作日内可能获利的均值为

……………………………………10分

18、解：（1）∵与共线，∴.

即，∴

即，∵，∴，∵，∴.

……………………………………6分

（2），，，在中，由余弦定理得：

，∴.

则或（舍去）.

∴，∵∴.

在中，由余弦定理得：

，

∴.   …………………………………………………………12分

19．(1)证明：因为为正方形，所以.

又平面平面，平面平面，

所以平面.…………………………………………………………4分

（2）解：由（1）知，，

又，所以.

所以两两垂直．

以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，.

设平面的法向量为，则

即，

令，则得．

同理可得平面的法向量为，

所以.

由图形知二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．……………………………………12分

20．解：认为“成绩优秀”的被测验学生共有两组，其频率分布为0.24，0.16，根据分层抽样的方法可知，两组抽取的人数分别为6人、4人.

（1）从10人中任选3人，有种不同情况，抽取的3人不属于同一组的情况有，

故所抽取的3人不属于同一组的概率为；…………6分

（2）由条件可得的取值可能有0，1，2，3，且，， ，

∴的分布列为

∴的数学期望为.……………………12分

21．解：（1）由题意知， 的焦点坐标为，

， . 

所以，椭圆的方程为.  …………………………………………4分

（2）设，则

由点在椭圆上得， ，两式相减得， .

， .

因为三点共线，所以，即.

，为定值.

 …………………………………………12分

22．解：（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意． 从而切线斜率，切点为（1,0），所以切线方程为          …………………………………………………………3分    

（2），因为f（x）在上为单调增函数，

所以在上恒成立，即在上恒成立．

当时，由，得．

设。，．

所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2．

所以，所以．

所以a的取值范围是．   ………………………………………………7分             

（3）要证，只需证，只需证，设．

由（2）知在上是单调增函数，又．

所以，

即成立，所以…………………………12分