【数学】河南省林州市林虑中学2019-2020学年高二下学期开学检测（文）（解析版）
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高二下学期开学检测（文）
一、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.某商场为了了解不同厂家生产的散装面包的月销售量与售价之间的关系，随机统计了某几个月的月销售量与当月各散装面包的售价，相关数据如下表：
售价 （元/千克） | 0 | |||||
月销售量 （千克） | 166 | 150 | 136 |
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是
A. 在回归模型中，预报变量 的值不能由解释变量 唯一确定
B. 若变量 满足关系 ，且变量 与 正相关，则 与 也正相关
C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则 ，
3.有一散点图如图所示，在 个 数据中去掉 后，下列说法正确的是
A. 残差平方和变小 B. 相关系数 变小
C. 相关指数 变小 D. 解释变量 与预报变量 的相关性变弱
4.把正整数按如图所示的规律排序，则从 到 的箭头方向依次为
A. B.
C. D.
5.已知复数 在复平面内对应点的坐标为 ，则复数 的虚部为
A. B.
C. D.
6.甲、乙、丙、丁四人参加某超市抽奖活动，甲说：我没中奖；乙说：甲中奖了；丙说：我也没中奖；丁说：乙中奖了．已知四人中只有一人说的是真话，由此可见
A. 甲中奖 B. 乙中奖
C. 丙中奖 D. 丁中奖
7.直线 （为参数）被曲线 所截的弦长是
A. B. C. D.
8.已知为虚数单位，复数 满足 ，则 为
A. B. C. D.
9.执行如图所示的程序框图，若输入的值为 ，则输出 的值为
A. B.
C. D.
10.为了调查患胃病是否与生活不规律有关，在患胃病与生活不规律这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是
A. 越大，“患胃病与生活不规律没有关系”的可信程度越大
B. 越大，“患胃病与生活不规律有关系”的可信程度越小
C. 若计算得 ，经查临界值表知 ，则在 个生活不规律的人中必有 人患胃病
D. 从统计量中得知有 的把握认为患胃病与生活不规律有关，是指有 的可能性使得推断出现错误
11.不等式无实数解，则 的取值范围是
A. B.
C. D.
12.已知 ，且 ，则 的最大值为
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.双曲线 ： 经过 ： 变换后所得曲线 的焦点坐标
为 .
14.在极坐标系中，曲线 上任意两点间的距离的最大值
为 .
15.已知为虚数单位，复数 的共轭复数为 ，
则 .
16.观察下列等式
，
，
，
，
照此规律， .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（1）设 都是正数，求证： ；
（2）证明：求证 .
18.已知复数 满足 （是虚数单位）．求：
（1） ；
（2） .
19.设函数 .
（1）解不等式： ；
（2）若 对一切实数 均成立，求 的取值范围.
20.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数， ），直线的参数方程为 （为参数）.
（1）若 与相交，求实数 的取值范围；
（2）若 ，设点 在曲线 上，求点 到的距离的最大值，并求此时点 的坐标.
21.在新型冠状病毒流行期间，郑州一中进行线上期中考试，对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于 分为优秀， 分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的 列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部 中随机抽取 人为优秀的概率为优秀非优秀的概率为 .
| 优秀 | 非优秀 | 总计 |
甲班 |
|
| |
乙班 |
|
| |
总计 |
|
|
（1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，若按 的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的 名学生从 到 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到 号或 号的概率.
参考公式与临界值表：； .
22.某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发人工智能产品，为了对一批新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据 如下表所示：
试销单价 （百元） | ||||||
产品销量 （件） |
附：参考公式： ， ，
参考数据： ， ， .
（1）求 的值；
（2）已知变量 具有线性相关关系，求产品销量 （件）关于试销单价 （百元）的线性回归方程 （计算结果精确到整数位）；
（3）用 表示用正确的线性回归方程得到的与 对应的产品销量的估计值，当销售数据 的残差的绝对值 时，则将销售数据称为一个“有效数据”，现从这 组销售数据中任取 组，求抽取的 组销售数据都是“有效数据”的概率.
参考答案
1.【答案】B
【解析】由表格得 为 ，又 在回归方程 上，
所以 ，解得 ，所以 ，
当 时， ，故在样本 处的残差为 .
2.【答案】B
【解析】对于A， 除了受自变量 影响之外还受其他因素的影响，
故A正确；
对于B，变量 ，满足关系 ，则变量 与 负相关，
又变量 与 正相关，则 与 负相关，故B错误；
对于C，由残差图的意义可知正确；
对于D，∵ ，∴两边取对数，
可得 ，
令 ，可得 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，即D正确.
3.【答案】A
【解析】∵从散点图可分析得出：
只有 点偏离直线远，去掉 点，变量 与变量 的线性相关性变强，
∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小.
4.【答案】B
【解析】由图形的变化趋势可知，箭头的变化方向以 为周期，
， ， ，
故 的箭头方向同 的箭头方向.
5.【答案】B
【解析】由题意知： ，
∴ ，
∴复数 的虚部为.
6.【答案】C
【解析】若甲中奖，则乙和丙说的是真话，不符合题意；
若乙中奖，则甲、丙和丁说的是真话，不符合题意；
若丙中奖，则只有甲说的是真话，符合题意；
若丁中奖，则甲和丙说的是真话，不符合题意．所以是丙中奖.
7.【答案】A
【解析】将方程 ， 分别化为普通方程
， ，
所以圆心坐标为 ，半径为 ，
圆心到直线的距离为 ，
所以弦长 .
8.【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，
∴ .
9.【答案】C
【解析】
执行程序框图， ， ； ， ， ；
， ， ； ， ， ；
， ， ； ， ， ，
结束循环，输出 .
10.【答案】D
【解析】 越大，“患胃病与生活不规律没有关系”的可信程度越小，
则“患胃病与生活不规律有关系”的可信程度越大；A，B不正确；
是检验患胃病与生活不规律相关程度的量，是相关关系，
而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，C不正确.
11.【答案】C
【解析】由绝对值不等式的性质可得：
，
即 .
因为 无实数解，所以 .
12.【答案】B
【解析】由柯西不等式得：
，
∴ ，当且仅当 时，等号成立.
13.【答案】 ，
【解析】根据变换可得曲线 ：，
该双曲线的 ， ，解得 ， ，
故其焦点坐标为 ， .
14.【答案】
【解析】曲线 ，化简 ，
， ，
化简得， ，
表示半径为的圆，所以任意两点间的距离的最大值为直径 .
15.【答案】
【解析】复数 的共轭复数为 ， ， .
16.【答案】
【解析】因为 ， ，
，
，
所以由此可猜想 .
17.【答案】
（1）由题意，因为
，
所以 ，当且仅当 时，等号成立.
（2）证明：要证 ，
只需证明 ，
即证明 ，也就是证明 ，
上式显然成立，故原不等式成立.
18.【答案】
（1） .
（2） ，
，
∴ .
19.【答案】
（1）因为 ，
所以 ，
①当 时， ，
解得 ，所以 ；
②当 时， ，
解得 ，所以 ；
③当 时， ，
解得 ，所以 ；
综上所述， 的解为 .
（2）若
，
对一切实数 均成立，则 ，解得 ，
故所求 的取值范围为 .
20.【答案】
（1）由题意可知 的普通方程为 ，
直线的普通方程为 ，
将与 的方程联立，得 ，
因为 与相交，所以 ，
整理得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
（2）当 时， 的普通方程为 ，
设点 ，则点 到的距离：
，
其中 ， ，又因为 ，
所以当 ，即 时， ，
所以 ，
，所以 .
21.【答案】（1）
| 优秀 | 非优秀 | 总计 |
甲班 | |||
乙班 | 20 | ||
总计 |
（2）假设成绩与班级无关，则 ，
故按 的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”.
（3）设“抽到 号或 号”为事件 ，
先后两次抛掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数为 .
所有的基本事件有 ， ， ， ， ，共 个.
事件 包含的基本事件有 ， ， ， ， ， ， 共 个.
∴ ，即抽到 号或 号的概率为 .
22.【答案】
（1）由 ，得 ，解得 .
（2）∵ ，
而 ， ， ，
∴ ，
（或 同样得分），
所求的线性回归方程为： （或 同样得分）.
（3）当 时， ；当 时， ；当 时， ；
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
满足 条件的“有效数据”有： ， ， ， 共 个，
记 ， ， ， ， ， ，
从 组销售数据中任取 组，基本事件有： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种，
抽取的 组销售数据都是“有效数据”的事件有：
， ， ， ， ， ，共 种，
所以抽取的 组销售数据都是“有效数据”的概率为 .
