【数学】辽宁省大连市一〇三中学2019-2020学年高二下学期开学测试试题（解析版）

辽宁省大连市一〇三中学2019-2020学年高二下学期开学测试试题一、单选题1．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ）A． B． C． D．2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（    ）A． B． C． D．3．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 (　　)A．26 B．27C．7 D．84．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期有，那么在这期间人口数A．呈下降趋势 B．呈上升趋势 C．摆动变化 D．不变6．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（  ）A． B． C． D．7．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（    ）A． B．与是的最大值C． D．8．设等差数列的前项和为，若，则（    ）A．9 B．15 C．18 D．369．在数列中，已知对任意，则（ ）A． B．C． D．10．下列求导运算正确的是（    ）A． B．C． D．11．已知函数，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．412．下列关于求导叙述正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则二、填空题13．函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足： ,, 考查下列结论：① ；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.以上结论正确的是__________．14．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)15．7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有________种．16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)三、解答题17．设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.（1）求，的通项公式（2）设，数列的前项和为，求；（3）设，其中,求     18．已知等差数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：数列是等差数列.     19．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值    20．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（I）求和的值.（II）求函数的解析式.     21．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.       22．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响. （Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.
参考答案一、单选题1．用数字、、、、组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ）A． B． C． D．【答案】B2．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B3．将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为1时,1的个数为an,则a3等于 (　　)A．26 B．27C．7 D．8【答案】D4．盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个,那么概率是的事件为(　　)A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C5．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是（），为预测人口数，为初期人口数，为预测期内年增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期有，那么在这期间人口数A．呈下降趋势 B．呈上升趋势 C．摆动变化 D．不变【答案】A6．有名学生，其中有名男生.从中选出名代表，选出的代表中男生人数为，则其数学期望为（  ）A． B． C． D．【答案】B7．设是等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论错误的是（    ）．A． B．与是的最大值C． D．【答案】C8．设等差数列的前项和为，若，则（    ）A．9 B．15 C．18 D．36【答案】C9．在数列中，已知对任意，则（ ）A． B．C． D．【答案】B10．下列求导运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D11．已知函数，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C12．下列关于求导叙述正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】B 二、填空题13．函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意实数满足： ,, 考查下列结论：① ；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列.以上结论正确的是__________．【答案】②③④【解析】 ①因为对定义域内任意x,y,f(x)满足f(xy)=yf(x)+xf(y)，∴令x=y=1,得f(1)=0，故①错误，②令x=y=−1,得f(−1)=0；令y=−1,有f(−x)=−f(x)+xf(−1)，代入f(−1)=0得f(−x)=−f(x)，故f(x)是(−∞,+∞)上的奇函数．故②正确，③若 (n∈N∗)，则.为常数.故数列{}为等差数列，故③正确，④∵f(2)=2,f(xy)=xf(y)+yf(x)，∴当x=y时,f(x2)=xf(x)+xf(x)=2xf(x)，则，.…则，若n∈N∗)，则为常数，则数列{}为等比数列，故④正确，故答案为②③④．14．在一次医疗救助活动中，需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有________种.(用数字作答)【答案】15．7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有________种．【答案】1440【详解】解：∵7个人站成一排，若甲、乙、丙彼此不相邻，∴采用插空法来解，先排列甲、乙、丙之外的4人，有种结果，再在排列好的4人的5个空里，排列甲、乙、丙，有种结果，根据分步计数原理知共有种结果，故答案为：1440．16．从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成___________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)【答案】1260.三、解答题17．设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.（1）求，的通项公式（2）设，数列的前项和为，求；（3）设，其中,求 【答案】（1），；（2）；（3）.【详解】（1）设等比数列的公比为，则，设等差数列的公差为，，由，得，，解得，则.由，得，解得，则；（2），；（3）由，其中可得，，其中，设，则，两式相减得整理得，则，．18．已知等差数列前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：数列是等差数列.【答案】（1）；（2）见解析.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，；（2），，从而（常数），所以数列是等差数列.19．记分别为函数的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．（1）证明：函数与不存在“点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值【答案】（1）证明见解析（2）【详解】解：（1）函数，则．由且，得    ，此方程组无解，              因此，与不存在“”点．         （2）函数，，        则．                    设为与的“”点，由且，得，即，（*）         得，即，则．当时，满足方程组（*），即为与的“”点．因此，的值为． 20．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.（I）求和的值.（II）求函数的解析式.【答案】（1）；（2）【解析】分析：（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可．
（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可．详解：（1）∵f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．故点（﹣1，f（﹣1））在切线6x﹣y+7=0上，且切线斜率为6．得f（﹣1）=1且f′（﹣1）=6．（2）∵f（x）过点P（0，2）∴d=2∵f（x）=x3+bx2+cx+d∴f′（x）=3x2+2bx+c由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6又由f（﹣1）=1，得﹣1+b﹣c+d=1联立方程得故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+221．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【详解】（1）由，得，通项，令，解得，展开式中的系数为.（2）设第项系数的绝对值最大，则，所以，系数绝对值最大的项为.（3）原式.22．甲、乙两位同学参加诗词大赛，各答3道题，每人答对每道题的概率均为，且各人是否答对每道题互不影响. （Ⅰ）用表示甲同学答对题目的个数，求随机变量的分布列和数学期望；（Ⅱ）设为事件“甲比乙答对题目数恰好多2”，求事件发生的概率.【答案】（I）见解析；（II）.【详解】（I）所有可能的取值为；；；. 的分布列为 数学期望.（II）由题意得：事件“甲比乙答对题目数恰好多”发生即：“甲答对道，乙答对题道”和“甲答对道，乙答对题道”两种情况