【数学】四川省泸县第五中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）

四川省泸县第五中学2020-2021学年高二上学期开学考试（理）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.直线的倾斜角为 A.45° B.60° C.120° D.135°2.下列命题正确的是 A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面3.已知数列是公比为的等比数列，且成等差数列，则公比的值为 A.     B. 1    C.     D. 4.已知，，且，则向量与的夹角为 A. B. C. D.5.在中，已知，，，则 A.4 B.2 C.3 D.6.设是等比数列的前项和，若，则为 A. B. C. D.7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则8.已知向量，则与平行的单位向量的坐标为 A. B.或C. D.或9.在中, = 分别为角的对应边),则的形状为A. 正三角形    B. 直角三角形    C. 等腰直角三角形    D. 等腰三角形10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称C. 函数是偶函数 D. 在区间上的值域为11.已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，，，，则球O的体积等于A.     B.     C.     D. 12.已知函数，则关于的不等式的解集是A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.不等式的解集为__________.14..若，，则的最小值为____________15.已知直三棱柱所有的棱长都相等，D，E分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_______________16.在中，内角，，的对边分别为，，．若的面积为，且，，则外接圆的面积为____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。17.（10分）已知直线：x+y-1=0.（1）求过原点且与直线平行的直线方程.（2）求过点(2，3)且与直线垂直的直线方程.         18.（12分）设函数，.（1）求函数的最小正周期；（2）若，求函数的最值.       19.（12分）已知正项等比数列的前项和为，且，，数列满足，且.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.    20.（12分）在 中， 所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若， ， 为的中点，求的长．    21.（12分）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.（1）求证：；（2）求证：四边形是平行四边形；（3）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由.    22.对于定义在区间上的两个函数和，如果对任意的，均有不等式成立，则称函数与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．（1）若，，则与在区间上是否“友好”；（2）现在有两个函数与，给定区间．①若与在区间上都有意义，求的取值范围；②讨论函数与与在区间上是否“友好”．            参考答案1.A 2.C 3.A 4.C 5.D 6.A 7.C 8.D 9.B 10.D 11.B 12.A13..  14.   15.  16.17.解：（1）直线的斜率为，过原点且与直线平行的直线方程为：，即；（2）直线的斜率为，与直线垂直的直线的斜率为1，过点且与直线垂直的直线方程为：，即．18.（1）∵，.，∴.（2）∵，∴，∴，∴函数，，∴函数在区间上的最大值为，最小值为.19.（1）设等比数列的公比为，依题意可得所以，所以，即，解得或（舍），所以，所以，所以，因为，所以，，，，，将以上各式相加可得，所以.综上所述：，.（2）因为，所以数列的前项和为.20.(1)因为asin A＝(b－c)sin B＋(c－b)·sin C，由正弦定理得a2＝(b－c)b＋(c－b)c，   整理得a2＝b2＋c2－2bc，             由余弦定理得cos A＝＝＝，  因为A∈(0，π)，所以A＝.               (2)由cos B＝，得sin B＝＝＝，所以cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－＝－，由正弦定理得b＝＝＝2，       所以CD＝AC＝1，                           在△BCD中，由余弦定理得BD2＝()2＋12－2×1××＝13，所以BD＝.21.（1）由平面平面，平面平面，且，所以平面，又平面，所以；（2）依题意都在平面上，因此平面，平面，又平面，平面，平面与平面平行，即两个平面没有交点，则与不相交，又与共面，所以，同理可证，所以四边形是平行四边形；（3）不能.如图，作交于点，延长交于点，连接， 由，，，所以平面，则平面，又，根据三垂线定理，得到，所以是二面角的平面角，若，则是等腰直角三角形，，又，所以中，由大角对大边知，所以，这与上面相矛盾，所以二面角的大小不能为.22.（1）由已知，，因为时，，所以恒成立，故与在区间上是“友好”的.（2）①与在区间上都有意义，则必须满足，解得，又且，所以的取值范围为.②假设存在实数，使得与与在区间上是“友好”的，则，即，因为，则，，所以在的右侧，又复合函数的单调性可得在区间上为减函数，从而，，所以，解得，所以当时，与与在区间上是“友好”的；当时，与与在区间上是“不友好”的.