8.2.2向量的内积与二面角的计算 1课时 教案-2020届高三数学一轮复习

北师大珠海分校附属外国语学校教学设计文本2019年12月31 日                                                      执教: 孙欣    课    题向量的内积与二面角的计算教学目标向量法求解线线线面面面的夹角教学重点向量法求解线线线面面面的夹角教学难点向量法求解线线线面面面的夹角教学方法启发教学时间1课时教学过程在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：                   (1)其中点O是二面角P-MN-Q的棱MN上的点，OA、OB分别在平面P和平面Q内。，， 。为二面角P-MN-Q（见图1）。图1    公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：以Q为坐标平面，直线MN为y轴，如图1建立直角坐标系。 记xOz平面与平面P的交线为射线OD，则，得，，。分别沿射线OA、OB的方向上作单位向量，，则。由计算知，的坐标分别为，，于是，。公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的两个应用。例1．立方体ABCD-A­1B­­1C1D1的边长为1，E、F、G、H、I分别为A1D1、A1A、A1B1、B1C1、B1B的中点。 求面EFG和面GHI的夹角的大小（用反三角函数表示）。解 由于图2中所画的两平面EFG和GHI只有一个公共点，没有交线，所以我们可以将该立方体沿AB方向平移1个单位。这样就使平面EFG平移至平面。而就是二面角G-IH-（见图3）。利用公式（1），只要知道了，和的大小，我们就能求出。图2由已知条件，和均为等边三角形，所以，而。因此，图3，即。解得，  。当然，在建立了直角坐标系之后，通过计算向量的外积可计算出两平面的法向量，利用法向量同样也可算出夹角来。例2．计算正十二面体的两个相邻面的夹角的大小。解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形，且在正十二面体的每个顶点上均有3个面围绕。设P和Q是两个相邻的面，MN是它们的交线（如图4），则公式（1）中的，，分别为：， ， ，因此它们均为正五边形的内角。所以。图4所以，由公式（1）知，或。因此，，或。    如果不使用公式（1），要求出例2中的夹角的大小在计算上要复杂很多。利用例2的结果，我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积V。设单位棱长正十二面体的中心为O，则该十二面体可以切割成十二个全等的正五棱锥，每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以O为其顶点。设该正五棱锥为，从而可知：。再设的底面积为S、高为h，设为单位边长正五边形（即的底）的中心，A、B为该五边形的两个相邻的顶点，H为AB的中点，，则， ， 。仍设为正十二面体两相邻面的夹角，则。所以。但是，，从而                                                                                                                        ，或 板书设计：       向量的内积与二面角的计算     例1