四川省内江市高三第一次模拟考试数学（理）试题附答案
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数学(理科）
第I卷(选择题，共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，则（ ）
A. B. 2 C. D. 1
3.如图是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最髙
B. 深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降
C. 平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
D. 平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
4. 记为等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
5. 若，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的图象大致是（ ）
A. B C. D.
8． 设表示不小于实数的最小整数，执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A. 20 B. 25
C. 24 D. 21
9. 若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数，给出下列四个结论：
① 函数的最小正周期是；
② 函数在区间上是减函数；
③ 函数的图像关于点对称；
④ 函数的图像可由函数的图像向右平移个单位，再向下平移1个单位得到.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
11. 在中，已知，，点为的三等分点(靠近)，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 设函数在上存在导数，对任意的， 有，且时，.若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
13. 的展开式中的系数为______.
14. 设，满足约束条件，则的最小值为______.
15. 已知、分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为______.
16．设数列满足，，，，则______.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）
（一）必考题：共60分.
17. （12分）已知等比数列的各项都为正数，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. （12分）国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验》国家标准.新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80 毫克/百毫升为醉酒驾车.经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：
该函数模型如下：.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）
（参考数据：，，）
19. （12分）如图，是直角斜边上一点，.
（1）若，求角的大小；
（2）若，且，求的长.
20. （12分）交强险是车主必须为机动车购买的险种.若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用(基准保费)统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如下表：
交强险浮动因素和浮动费率比率表 | ||
类型 | 浮动因素 | 浮动比率 |
上一个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮10% | |
上两个年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮20% | |
上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 | 下浮30% | |
上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 0% | |
上一个年度发生两次及以上有责任不涉及死亡的道路交通事故 | 上浮10% | |
上一个年度发生有责任涉及死亡的道路交通事故 | 上浮30% | |
某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：
类型 | ||||||
数量 | 10 | 5 | 5 | 20 | 15 | 5 |
以这60辆该品牌的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率.
（1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，元.
记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期
望值保留到个位数字）
（2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车记为事故车.假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元.
① 若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
② 若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值.
21. （12分）已知函数.
（1）若时，恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：..
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点是曲线与的交点，点是曲线与的交点，且，均异于原点，，求的值.
23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为实数集，求实数的取值范围.
内江市高中第一次模拟考试题
数学（理科）答案及评分意见
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）
1. A 2.C 3.D 4. A 5. D 6. B 7. C 8. B 9. B 10. A 11. C 12. A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. -21 14. 4 15. 16. 8068
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.）
17. 解：设的公比为，则.
由题得
解得.
∴.
（2）由（1）知，
∴.
∴.
∴
.
18. 解：（1）由图可知，当函数取得最大值时，
有，.
∴当，即时，函数取得最大值.
故喝一瓶啤酒1.5小时血液中的酒精含量达到最大值53毫克/百毫升.
（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精含量小于20毫克/百毫升时可以驾车， 由图知，此时，.
∴.
故喝1瓶啤酒需6个小时后才可以驾车.
19. 解：（1）在中，由正弦定理得
.
∵，，∴.
又，∴.
∴，即.
（2）设，则，，.
∴，，.
在中，由余弦定理得，
即，∴.故.
20. 解:（1）由题意可知，的可能取值为，，，，，，由统计数据可知，，，，，，.
∴的分布列为
∴
元.
（2）①由统计数据可知，任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆故车的概率为.
②设为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，的可能取值为-5000，10000.
∴的分布列为
-5000 | 10000 | |
∴元.
∴该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车获得利润的期望值为元.
21.解:（1）∵，
∴，
易知当时，,
∴在上递增，.
① 当，即时，，则在上递增.
此时，满足题意.
② 当，即时，则.
取，则.
∴.
由在上递增知，，使得.
∴当时，.
∴在上递减，此时不符合题意.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）由（1）知，当时，
在上递增.
∴.
即.
22. 解：（1）由消去参数，
得的普通方程为.
∵，又，
∴的直角坐标方程为.
（2）由（1）知曲线的普通方程为，
∴其极坐标方程为，
∴.
∴
又，∴.
23. 解：（1）当时，.
∴.
或或
或或或.
∴当时，不等式的解集为.
（2）∵的解集为实数集对恒成立.
又，
∴.
∴.故的取值范围是.
