初中第二十二章 二次函数综合与测试练习

这是一份初中第二十二章 二次函数综合与测试练习，共22页。试卷主要包含了二次函数y＝﹣2，如果抛物线经过点A，已知等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，下列说法正确的是（ ）


A．开口向上


B．对称轴为直线x＝1


C．顶点坐标为（1，4）


D．当x＜﹣1时，y随x的增大而增大


2．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：


从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）


A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）


B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）


C．抛物线的对称轴是直线x＝0


D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的


3．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）


A．B．


C．D．


4．把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）


A．y＝﹣2（x﹣1）2+6B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6


C．y＝﹣2（x+1）2+6D．y＝﹣2（x+1）2﹣6


5．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＞0．其中正确的是（ ）





A．①③B．②C．②④D．③④


6．如果抛物线经过点A（2，0）和B（﹣1，0），且与y轴交于点C，若OC＝2．则这条抛物线的解析式是（ ）


A．y＝x2﹣x﹣2B．y＝﹣x2﹣x﹣2或y＝x2+x+2


C．y＝﹣x2+x+2D．y＝x2﹣x﹣2或y＝﹣x2+x+2


7．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c等于（ ）


A．4B．8C．﹣4D．16


8．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（ ）


A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．a＜m＜b＜nD．m＜a＜n＜b


9．如图，抛物线y＝﹣2x2+4x与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设△PCD的面积为S，则用m表示S正确的是（ ）





A．（m2﹣4）B．m2﹣2C．（4﹣m2）D．2﹣m2


10．已知：如图，正方形ABCD中，AB＝2，AC，BD相交于点O，E，F分别为边BC，CD上的动点（点E，F不与线段BC，CD的端点重合）．且BE＝CF，连接OE，OF，EF．在点E，F运动的过程中，有下列四个说法：


①△OEF是等腰直角三角形；②△OEF面积的最小值是；


③至少存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+；④四边形OECF的面积是1．


其中正确的是（ ）





A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④


二．填空题


11．二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是 ．





12．已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3，1；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是 ．


13．二次函数y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知，不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为 ．





14．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝ ．


15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加 m．





三．解答题


16．已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣6．


（1）用配方法将y＝2x2﹣4x﹣6化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；


（2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；


（3）当x取何值时，y随x的增大而减少？


（4）当x取何值是，y＝0，y＞0，y＜0，


（5）当0＜x＜4时，求y的取值范围；


（6）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积．

















17．已知：二次函数为y＝x2﹣x+m，


（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；


（2）m为何值时，顶点在x轴上方；


（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB＝4时，求此二次函数的解析式．














18．某德阳特产专卖店销售“中江柚”，已知“中江柚”的进价为每个10元，现在的售价是每个16元，每天可卖出120个．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出10个；每降价1元，每天可多卖出30个．


（1）如果专卖店每天要想获得770元的利润，且要尽可能的让利给顾客，那么售价应涨价多少元？


（2）请你帮专卖店老板算一算，如何定价才能使利润最大，并求出此时的最大利润？














19．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．


（1）求该抛物线的解析式；


（2）在抛物线上求一点P，使S△PAB＝S△ABC，写出P点的坐标；


（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QBC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

















20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．





（1）求n的值和抛物线的解析式；


（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；


（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．





参考答案


一．选择题


1．解：∵二次函数y＝﹣2（x+1）2﹣4，


∴a＝﹣2，该函数的图象开口向下，故选项A错误；


对称轴是直线x＝﹣1，故选项B错误；


顶点坐标为（﹣1，﹣4），故选项C错误；


当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故选项D正确；


故选：D．


2．解：


当x＝﹣2时，y＝0，


∴抛物线过（﹣2，0），


∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；


当x＝0时，y＝6，


∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；


当x＝0和x＝1时，y＝6，


∴对称轴为x＝，故C错误；


当x＜时，y随x的增大而增大，


∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；


故选：C．


3．解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意；


B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项符合题意；


C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项不合题意；


D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项不合题意．


故选：B．


4．解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选C．


5．解：①抛物线开口方向向上，则a＞0，b＝﹣2a＜0．


抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，


所以abc＜0，


故①错误；


②如图所示，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，则2a+b＝0，故②正确；


③如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③错误；


④对称轴x＝1，当x＝0与x＝2时的点是关于直线x＝1的对应点，


所以x＝2与x＝0时的函数值相等，所以4a+2b+c＞0，故④正确；


综上所述，正确的结论为②④．


故选：C．


6．解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）（x+1），


∵OC＝2，


∴C点坐标为（0，2）或（0，﹣2），


把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝2，解得a＝﹣1，此时抛物线解析式为y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；


把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a•（﹣2）•1＝﹣2，解得a＝1，此时抛物线解析式为y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．


即抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．


故选：D．


7．解：根据题意，得＝0，


解得c＝16．


故选：D．


8．解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，


∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），


∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，


二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．


画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．


故选：A．





9．解：抛物线的对称轴为：x＝1，


令y＝0代入y＝﹣2x2+4x，


∴0＝﹣2x2+4x，


∴x＝0或x＝2，


∴A（2，0）


∴OA＝2，


设P关于x＝1的对称点为Q，且设P的横坐标为x1，Q的横坐标为x2，


∴，


∵抛物线向右平移m（m＞2）个单位长度，


∴PQ＝m，


∴x1﹣x2＝m，


∴


解得：x1＝，x2＝


把x1＝代入y＝﹣2x2+4x


∴y＝2﹣＜0


∴在△PCD中，CD边上的高为：﹣2，


∵OA＝CD＝2，


∴S△PCD＝×2×（）＝﹣2


故选：B．





10．解：①∵四边形ABCD是正方形，AC，BD相交于点O，


∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，


在△OBE和△OCF中，





∴△OBE≌△OCF（SAS），


∴OE＝OF，


∵∠BOE＝∠COF，


∴∠EOF＝∠BOC＝90°，


∴△OEF是等腰直角三角形；


故①正确；


②∵当OE⊥BC时，OE最小，此时OE＝OF＝BC＝1，


∴△OEF面积的最小值是＝，


故②正确；


③∵BE＝CF，


∴CE+CF＝CE+BE＝BC＝2，


设EC＝x，则BE＝CF＝2﹣x，


∴EF＝＝，


∵0＜x＜2，


∴≤EF＜2，


∵＜＜2，


∴存在一个△ECF，使得△ECF的周长是2+，


故③正确；


④由①知：△OBE≌△OCF，


∴S四边形OECF＝S△COE+S△OCF＝S△COE+S△OBE＝S△OBC＝S正方形ABCD＝×2×2＝1，


故④正确；


故选：D．


二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）


11．解：由图象可知，


当0≤x≤3时，函数值y的取值范围﹣1≤y≤3．


故答案为：﹣1≤y≤3．


12．解：设所求抛物线是y＝ax2+bx+c，根据题意得，


，


解得


，


故所求函数解析式是y＝2x2﹣8x+6．


故答案是y＝2x2﹣8x+6．


13．解：抛物线的对称轴为直线x＝2，


而抛物线与x轴的一个交点坐标为（5，0），


所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），


所以不等式﹣x2+bx+c＜0的解集为x＜﹣1或x＞5．


故答案为x＜﹣1或x＞5．


14．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．


（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，


于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，


解得，（m﹣）2＜，


解得m＜或m＞．


将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．


（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，


这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，


解得：m＝．


故答案为：1或0或．


15．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，





抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），


设顶点式y＝ax2+2，代入A点坐标（﹣2，0），


得：a＝﹣0.5，


所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，


把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：


﹣1＝﹣0.5x2+2，


解得：x＝±，


所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4，


故答案为：（2﹣4）．


三．解答题（共5小题）


16．解：（1）y＝2x2﹣4x﹣6


＝2（x2﹣2x）﹣6


＝2（x﹣1）2﹣8；





（2）当y＝0，则0＝2（x﹣1）2﹣8，


解得：x1＝﹣1，x2＝3，


故图象与x轴交点坐标为：（﹣1，0），（3，0），


当x＝0，y＝﹣6，


故图象与y轴交点坐标为：（0，﹣6），


如图所示：


；





（3）当x＜1时，y随x的增大而减少；





（4）当x＝﹣1或3时，y＝0，


当x＜﹣1或x＞3时，y＞0，


当﹣1＜x＜3时；y＜0；





（5）当0＜x＜4时，


x＝1时，y＝﹣8，x＝4时，y＝10，


故y的取值范围是：﹣8≤y＜10；





（6）如图所示：


函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形的面积为：×4×6＝12．


17．解：（1）∵a＝1＞0，


∴抛物线开口方向向上；


对称轴为直线x＝﹣＝；


＝，


顶点坐标为（，）；





（2）顶点在x轴上方时，＞0，


解得m＞；





（3）令x＝0，则y＝m，


所以，点A（0，m），


∵AB∥x轴，


∴点A、B关于对称轴直线x＝对称，


∴AB＝×2＝1，


∴S△AOB＝|m|×1＝4，


解得m＝±8，


所以，二次函数解析式为y＝x2﹣x+8或y＝x2﹣x﹣8．


18．解：（1）设售价应涨价x元，则：


（16+x﹣10）（120﹣10x）＝770，


解得：x1＝1，x2＝5．


又要尽可能的让利给顾客，则涨价应最少，所以x2＝5（舍去）．


∴x＝1．


答：专卖店涨价1元时，每天可以获利770元．


（2）设单价涨价x元时，每天的利润为w1元，则：


w1＝（16+x﹣10）（120﹣10x）


＝﹣10x2+60x+720


＝﹣10（x﹣3）2+810（0≤x≤12），


即定价为：16+3＝19（元）时，专卖店可以获得最大利润810元．


设单价降价z元时，每天的利润为w2元，则：


w2＝（16﹣z﹣10）（120+30z）


＝﹣30z2+60z+720


＝﹣30（z﹣1）2+750（0≤z≤6），


即定价为：16﹣1＝15（元）时，专卖店可以获得最大利润750元．


综上所述：专卖店将单价定为每个19元时，可以获得最大利润810元．


19．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，


∴，解得，


∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；





（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3，


∴x＝0时，y＝3，


∴点C的坐标为（0，3）．


设在抛物线上存在一点P（x，y），使S△PAB＝S△ABC，


则|y|＝3，即y＝±3．


如果y＝3，那么﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或﹣2，


x＝0时与C点重合，舍去，所以点P（﹣2，3）；


如果y＝﹣3，那么﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1±，


所以点P（﹣1±，﹣3）；


综上所述，所求P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+，﹣3）或（﹣1﹣，﹣3）；





（3）连结AC与抛物线的对称轴交于点Q，此时△QBC的周长最小．


设直线AC的解析式为：y＝mx+n，


∵A（﹣3，0），C（0，3），


∴，解得：，


∴直线AC的解析式为：y＝x+3．


∵y＝﹣x2﹣2x+3的对称轴是直线x＝﹣1，


∴当x＝﹣1时，y＝﹣1+3＝2，


∴点Q的坐标是（﹣1，2）．


20．解：（1）∵直线l：y＝x+m经过点B（0，﹣1），


∴m＝﹣1，


∴直线l的解析式为y＝x﹣1，


∵直线l：y＝x﹣1经过点C（4，n），


∴n＝×4﹣1＝2，


∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），


∴，


解得，


∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣1；





（2）令y＝0，则x﹣1＝0，


解得x＝，


∴点A的坐标为（，0），


∴OA＝，


在Rt△OAB中，OB＝1，


∴AB＝＝＝，


∵DE∥y轴，


∴∠ABO＝∠DEF，


在矩形DFEG中，EF＝DE•cs∠DEF＝DE•＝DE，


DF＝DE•sin∠DEF＝DE•＝DE，


∴p＝2（DF+EF）＝2（+）DE＝DE，


∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），


∴D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），


∴DE＝（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）＝﹣t2+2t，


∴p＝×（﹣t2+2t）＝﹣t2+t，


∵p＝﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，


∴当t＝2时，p有最大值；








（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，


∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，


①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，


∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1，


解得x＝，


②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，


∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，


解得x＝﹣，


综上所述，点A1的横坐标为或﹣．


x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…