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鲁科版 (2019)必修 第二册第2节 万有引力定律的应用导学案及答案
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这是一份鲁科版 (2019)必修 第二册第2节 万有引力定律的应用导学案及答案，共23页。
第3节 人类对太空的不懈探索
知识点一 天体质量的计算
[观图助学]
以上三图都是称量物体质量的仪器，能过用它们称量地球的质量吗？我们如何“称量”地球的质量？
1.天体质量的计算
(1)在地球的表面，如果不考虑地球自转的影响，重力近似等于万有引力，mg＝Geq \f(Mm,R2)，若已知地球的半径即可求得地球的质量，M＝eq \f(gR2,G)。
(2)假设质量为m的天体围绕质量为M的天体近似做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r，则 M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
2.重力与万有引力的关系
考虑地球的自转，如图所示，万有引力的一个分力F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，另一个分力F2就是物体的重力mg，故一般情况mg＜Geq \f(Mm,R2)。
[思考判断]
(1)在地球表面，物体受到的地球的万有引力就是重力。(×)
(2)若已知天体m绕天体M做圆周运动的周期和轨道半径，可以求出m的质量。(×)
(3)在地球的两极，物体的重力等于物体受到地球的万有引力。(√)
我们无法应用称量工具直接称出地球的质量，但是如果我们已知地球表面的重力加速度、地球的半径和万有引力常量，则可应用mg＝Geq \f(Mm,R2)计算出地球的质量。
M＝eq \f(gR2,G)中，M是地球的质量，R是地球的半径，g是地球表面的重力加速度，这个等量关系恒成立。
对于赤道上的物体C有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)。
知识点二 人造卫星与宇宙速度
1.人造卫星
(1)牛顿的设想：如图所示，当抛出速度足够大时，物体将会围绕地球旋转而不再
落回地面，成为一颗绕地球转动的卫星。
(2)原理：卫星绕地球转动时，万有引力提供向心力，即
eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mrω2，其中r为卫星到地心的距离。
2.宇宙速度
(1)第一宇宙速度大小为7.9__km/s，也叫环绕速度。
(2)第二宇宙速度大小为11.2__km/s，也叫脱离速度。
(3)第三宇宙速度大小为16.7__km/s，也叫逃逸速度。
[思考判断]
(1)人造地球卫星的最小运转半径是地球半径。(√)
(2)第一宇宙速度是发射地球卫星的最小速度。(√)
(3)当发射速度v＞7.9 km/s时，卫星将脱离地球的吸引，不再绕地球运动。(×)
万有引力提供物体做圆周运动的向心力，所以，卫星轨迹圆的圆心都是地心。
第一宇宙速度就是近地卫星的环绕速度。
知识点三 预测未知天体 人类对太空的探索
1.预测未知天体
(1)海王星的发现
在观测天王星时，发现其实际轨道与万有引力计算的轨道不吻合，并由此预测存在另一行星，这就是后来发现的海王星。
(2)意义
巩固了万有引力定律的地位，展现了科学理论超前的预见性。
2.人类对太空的探索
(1)两种学说
(2)牛顿的大综合
牛顿在前人研究的基础上，逐步建立了万有引力定律，是物理学的第一次大综合，形成了以牛顿三大运动定律为基础的力学体系。
[思考判断]
(1)天王星的计算轨道与实际轨道不符是因为受到的未知天体海王星的影响。(√)
(2)对海王星的预测和发现巩固了万有引力定律的地位。(√)
(3)太阳是宇宙的中心，且是静止不动的。(×),
应用万有引力定律，科学家们预测哈雷彗星在2061年还将回归地球！
地心说的代表人物：托勒密(古希腊)
日心说的代表人物：哥白尼(波兰)
两种学说都不正确，因为任何天体都在运动。
核心要点 天体质量和密度的计算
[要点归纳]
1.天体质量的计算
2.天体密度的计算
(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，将质量代入可求得密度。
(2)特殊情况
①卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，将M＝eq \f(4π2r3,GT2)代入得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2)。
②已知天体表面的重力加速度为g，则ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πRG)。
[经典示例]
[例1] 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的平均密度。
审题提示 (1)应用小球做平抛运动可以求出星球表面的重力加速度。
(2)在星球的表面重力近似等于万有引力。
解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有L＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，解得g＝eq \f(2hv2,L2)。
(2)在星球表面满足eq \f(GMm,R2)＝mg
又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，解得ρ＝eq \f(3hv2,2πGRL2)。
答案 (1)eq \f(2hv2,L2) (2)eq \f(3hv2,2πGRL2)
方法总结 求解天体质量时应明确的问题
万有引力定律和圆周运动知识的结合，应用牛顿运动定律解决天体问题是非常典型的一种题型。解答此类问题应明确以下三点：
(1)利用天体运动求解天体质量时，只能将被求天体作为中心天体，所研究的环绕天体的运动近似为匀速圆周运动进行求解。
(2)由于向心力表达式较多，要根据已知条件选择合适的公式求解。
(3)正确理解向心力表达式中的r的含义，它不是环绕天体到中心天体表面的距离，而是环绕天体球心到中心天体球心的距离。
[针对训练1] 未来世界中，在各个星球间进行远航旅行将成为一件小事。某一天，小华驾驶一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面做匀速圆周运动飞行，飞船只受到该行星引力的作用，已知万有引力常量为G，要测定该行星的密度，仅仅只需测出下列哪一个量( )
A.飞船绕行星运行的周期
B.飞船运行的轨道半径
C.飞船运行时的速度大小
D.该行星的质量
解析 设行星的半径为R，质量为M，飞船的质量为m，飞船绕行星运行的周期为T，由万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)R得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，行星的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2)，只需测出飞船绕行星运行的周期即可测出其密度，故选A。
答案 A
核心要点 宇宙速度及其理解
[问题探究]
如图所示，美国有部电影叫《光速侠》，是说一个叫Daniel Light的家伙在一次事故后，发现自己拥有了能以光速奔跑的能力。根据所学物理知识分析，如果“光速侠”要以光速从纽约跑到洛杉矶救人，可能实现吗？
答案 不可能实现。当人或物体的速度超过第一宇宙速度时，会脱离地球表面，即在地表运动的速度不能超过第一宇宙速度7.9 km/s。
[探究归纳]
1.三个宇宙速度及其理解
2.第一宇宙速度的理解及计算
(1)对第一宇宙速度的理解：
①“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
②“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度，是最大环绕速度。
(2)第一宇宙速度的计算：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g＝9.8 m/s2，则
[经典示例]
[例2] (多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A.第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B.美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C.第二宇宙速度是物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度
D.第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
解析 根据v＝eq \r(\f(GM,r))可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，选项C正确。
答案 CD
[针对训练2] 已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A.3.5 km/s B.5.0 km/s
C.17.7 km/s D.35.2 km/s
解析 构建公转模型，对卫星由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，对近地卫星v近地＝eq \r(\f(GM地,r近地))，同理对航天器有v航＝eq \r(\f(GM火,r航))，联立两式有eq \f(v航,v近地)＝eq \r(\f(M火r近地,M地r航))＝eq \f(\r(5),5)，而v近地＝7.9 km/s，解得v航＝3.5 km/s，A项正确。
答案 A
核心要点 人造地球卫星的运动规律及应用
[问题探究]
在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。请思考：
(1)这些卫星的运动的向心力都是由什么力提供？这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期跟什么因素有关呢？
答案 (1)卫星的向心力是由地球与卫星的万有引力提供，故所有卫星的轨道平面都经过地心。
(2)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r可知，卫星的线速度、角速度、周期等与其轨道半径有关。
[探究归纳]
1.人造卫星的轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力提供向心力。因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道。当然也存在着与赤道平面呈某一角度的圆轨道。
人造地球卫星的三种轨道
2.卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系
3.地球同步卫星
(1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫做地球同步卫星。
(2)特点：
①确定的转动方向：和地球自转方向一致；
②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h；
③确定的角速度：等于地球自转的角速度；
④确定的轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合；
⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km)；
⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s)。
[经典示例]
[例3] (多选)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mB＜mC，则对于三颗卫星，正确的是( )
A.运行线速度关系为vA＞vB＝vC
B.运行周期关系为TA＜TB＝TC
C.向心力大小关系为FA＝FB＜FC
D.半径与周期关系为eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))＝eq \f(Req \\al(3,C),Teq \\al(2,C))
解析 由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以vA＞vB＝vC，选项A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，所以TA＜TB＝TC，选项B正确；由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝Geq \f(M,r2)，所以aA＞aB＝aC，又mA＝mB＜mC，所以FA＞FB，FB＜FC，选项C错误；三颗卫星都绕地球运动，故由开普勒第三定律得eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))＝eq \f(Req \\al(3,C),Teq \\al(2,C))，选项D正确。
答案 ABD
[针对训练3] 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如卫星的线速度减小到原来的eq \f(1,2)，卫星仍做匀速圆周运动，则( )
A.卫星的向心加速度减小到原来的eq \f(1,4)
B.卫星的角速度减小到原来的eq \f(1,2)
C.卫星的周期增大到原来的8倍
D.卫星的周期增大到原来的2倍
解析 由公式eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)可知，R＝eq \f(GM,v2)，线速度减为原来的eq \f(1,2)时，其轨道半径R变为原来4倍，由eq \f(GMm,R2)＝mω2·R＝meq \f(4π2,T2)·R＝ma可知，当R变为原来的4倍时，其向心加速度变为原来的eq \f(1,16)，选项A错误；其角速度减小到原来的eq \f(1,8)，选项B错误，其周期增大到原来的8倍，选项C正确，D错误。
答案 C
1.(天体质量的计算)若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得( )
A.该卫星的质量 B.行星的质量
C.该卫星的平均密度 D.行星的平均密度
解析 利用万有引力定律，只能计算中心天体的质量，故已知卫星的轨道半径和周期，只能计算行星的质量，选项A、C错误，B正确；因不知行星的半径，故不能计算出行星的平均密度，选项D错误。
答案 B
2.(对三个宇宙速度的理解)关于宇宙速度，下列说法正确的是( )
A.第一宇宙速度是能使人造地球卫星飞行的最小发射速度
B.第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
C.第二宇宙速度是卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度
D.第三宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度
解析 第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星绕地球飞行的最大速度，A正确，B错误；第二宇宙速度是在地面上发射物体，使之成为绕太阳运动或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，C错误；第三宇宙速度是在地面上发射物体，使之飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，D错误。
答案 A
3.(天体的运行规律)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A.地球公转的周期大于火星公转的周期
B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r＝meq \f(v2,r)＝ma＝mω2r得，公转周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，故地球公转的周期较小，选项A错误；公转线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，故地球公转的线速度较大，选项B错误；公转加速度a＝eq \f(GM,r2)，故地球公转的加速度较大，选项C错误；公转角速度ω＝eq \r(\f(GM,r3))，故地球公转的角速度较大，选项D正确。
答案 D
4.(一般卫星与同步卫星)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102 km的预定轨道。“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动。已知地球半径R＝6.4×103 km。下列说法正确的是( )
A.“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小
B.“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小
C.“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小
D.“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
解析 地球同步卫星距地表36 000 km，由v＝eq \r(\f(GM,r))可知，“悟空”的线速度较大，所以A错误；由ω＝eq \r(\f(GM,r3))可知，“悟空”的角速度较大，即周期较小，由a＝eq \f(GM,r2)可知，“悟空”的向心加速度较大，因此B、D错误，C正确。
答案 C
5.(原创题)科学家在研究太阳系中某行星运行轨道时发现每隔t时间该行星就偏离轨道最大一次，他根据天体运动知识判断可能在该行星外侧还有一颗绕太阳运行的小行星。已知该行星绕太阳公转的半径为R，周期是T，设该行星和小行星都是圆轨道，求小行星与太阳的距离。
解析 设小行星绕太阳运行的周期为T′，则T′＞T，该行星和小行星每隔时间t相距最近一次，t时间内该行星比小行星多运动一周，则有eq \f(t,T)－eq \f(t,T′)＝1
设小行星绕太阳轨道半径为R′，由开普勒第三定律
eq \f(R′3,T′2)＝eq \f(R3,T2)
由以上两式解得R′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,t－T)))eq \s\up12(\f(2,3))R
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,t－T)))eq \s\up12(\f(2,3))R
基础过关
1.在现实生活中，绕地球做圆周运动的卫星的线速度( )
A.一定等于7.9 km/s
B.一定小于7.9 km/s
C.大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s
D.只需大于7.9 km/s
解析 卫星绕地球做圆周运动的过程中，万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以轨道半径r越大，卫星的环绕速度越小；实际生活中，做圆周运动的卫星的轨道半径大于地球的半径，所以环绕速度一定小于7.9 km/s。
答案 B
2.“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝eq \f(4,3)πR3，则可估算月球的( )
A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期
解析 由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，由于在月球表面轨道有r＝R，由球体体积公式V＝eq \f(4,3)πR3联立解得月球的密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，A正确。
答案 A
3.“神舟十号”与“天宫一号”在对接前，在各自轨道上运行，它们的轨道如图所示，假定它们都做匀速圆周运动，则( )
A.宇航员在“神舟十号”上不受地球引力作用
B.“天宫一号”的运行周期比“神舟十号”长
C.“天宫一号”的加速度比“神舟十号”大
D.“神舟十号”运行速度较大，要减速才能与“天宫一号”对接
解析 宇航员在“神舟十号”上也受地球引力作用，选项A错误；“神舟十号”与“天宫一号”在对接前，“天宫一号”的轨道半径大于“神舟十号”的轨道半径，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得“天宫一号”的运行周期比“神舟十号”长，选项B正确；根据a＝Geq \f(M,r2)，可得“天宫一号”的加速度比“神舟十号”小，选项C错误；“神舟十号”若减速，将做近心运动，会远离“天宫一号”的轨道，选项D错误。
答案 B
4.(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A.线速度v＝eq \r(\f(GM,R)) B.角速度ω＝eq \r(gR)
C.运行周期T＝2πeq \r(\f(R,g)) D.向心加速度a＝eq \f(Gm,R2)
解析 探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,R2)＝ma＝meq \f(v2,R)＝mω2R＝meq \f(4π2,T2)R，可得a＝eq \f(GM,R2)，v＝eq \r(\f(GM,R))，ω＝eq \r(\f(GM,R3))，T＝2πeq \r(\f(R3,GM))，所以A正确，D错误；又由于不考虑月球自转的影响，则Geq \f(Mm,R2)＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝eq \r(\f(g,R))，T＝2πeq \r(\f(R,g))，所以B错误，C正确。
答案 AC
5.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A.轨道半径变小 B.向心加速度变小
C.线速度变小 D.角速度变小
解析 探测器绕月球做圆周运动的向心力由月球的万有引力提供，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，当周期变小时，轨道半径r变小，选项A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mrω2，得向心加速度a＝Geq \f(M,r2)，线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，角速度ω＝eq \r(\f(GM,r3))，可见，轨道半径r变小时，向心加速度、线速度和角速度都将变大，选项B、C、D均错误。
答案 A
6.近地卫星线速度为7.9 km/s，已知月球质量是地球质量的eq \f(1,81)，地球半径是月球半径的3.8倍，则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为( )
A.1.0 km/s B.1.7 km/s
C.2.0 km/s D.1.5 km/s
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得近地(月)卫星的线速度为v＝eq \r(\f(GM,R))。近月卫星与近地卫星的线速度之比为eq \f(v2,v1)＝eq \r(\f(M2R1,M1R2))＝eq \r(\f(3.8,81))，所以近月卫星的线速度v2＝0.22 v1＝0.22×7.9 km/s＝1.7 km/s，选项B正确。
答案 B
7.(多选)在航天领域中，悬绳卫星是一种新兴技术，它要求两颗卫星都在圆周轨道上运动，且两颗卫星与地心连线始终在一条直线上，如图所示。已知悬绳的长度为L，其重力不计，卫星A、B的线速度分别为v1、v2，则下列说法正确的是( )
A.两颗卫星的角速度不相同
B.两颗卫星的线速度满足v1＞v2
C.两颗卫星之间的悬绳一定受到拉力的作用
D.假设在B卫星轨道上还有一颗卫星C(图中没有画出)，它们在同一平面内同向运动，运动一段时间后B、C可能相碰
解析 由题意知，A、B的周期相等，角速度相同，而v＝ωr，故v1＜v2，A、B选项错误；若悬绳对两卫星无拉力作用，则A、B的向心力均等于地球对它们的万有引力，由ω＝eq \r(\f(GM,r3))知，ωA＞ωB，这与事实不符，故悬绳有拉力，C正确；对B卫星：Geq \f(Mm,r2)＋T＝mω2r；而对C卫星：Geq \f(Mm′,r2)＝m′ω′2r，由此知ω≠ω′，时间足够长时，B、C一定会相碰，D正确。
答案 CD
8.(多选)利用下列哪种数据，可以算出地球的质量(引力常量G已知)( )
A.已知地面的重力加速度g
B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
解析 在地面附近重力近似等于万有引力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg，故M＝eq \f(gR2,G)，若想计算地球的质量，需要知道g、R和G，故选项A错误；卫星绕地球运动时万有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mveq \f(2π,T)＝mreq \f(4π2,T2)，故M＝eq \f(v2r,G)＝eq \f(2πr2v,GT)＝eq \f(4π2r3,GT2)，选项B、C正确；由v＝eq \f(2πr,T)得r＝eq \f(vT,2π)，故M＝eq \f(v3T,2πG) ，选项D正确。
答案 BCD
能力提升
9.(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其( )
A.角速度小于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
解析 根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝m(R＋h)ω2＝meq \f(v2,（R＋h）)＝m(R＋h)eq \f(4π2,T2)＝ma，解得v＝eq \r(\f(GM,R＋h))，ω＝eq \r(\f(GM,（R＋h）3))，T＝eq \r(\f(4π2（R＋h）3,GM))，a＝eq \f(GM,（R＋h）2)，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也小于地球的自转周期，选项A错误，C正确；由第一宇宙速度为eq \r(\f(GM,R))可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确。
答案 BCD
10.如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( )
A.a2＞a3＞a1 B.a2＞a1＞a3
C.a3＞a1＞a2 D.a3＞a2＞a1
解析 设空间站轨道半径为r1，月球轨道半径为r2，同步卫星轨道半径为r3。空间站受月球引力不能忽略，而同步卫星是不计月球吸引力的，这就说明r2＞r1＞r3，根据a1＝ωeq \\al(2,1)r1，a2＝ωeq \\al(2,2)r2，由题意知ω1＝ω2，所以a2＞a1，又因为a3＝Geq \f(M,req \\al(2,3))、a2＝Geq \f(M,req \\al(2,2))，所以a3＞a2，因此a3＞a2＞a1成立，D正确。
答案 D
11.(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有( )
A.TA＞TB B.EkA＞EkB
C.SA＝SB D.eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))
解析 卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)，得v＝eq \r(\f(GM,R))，T＝2πeq \r(\f(R3,GM))，由RA＞RB，可知TA＞TB，vA＜vB，由于两卫星的质量相等，因此EkA＜EkB，A正确，B错误；由开普勒第三定律，可知eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))，D正确；卫星与地心的连线在t时间内扫过的面积S＝eq \f(t,T)πR2＝eq \f(t\r(GMR),2)，可见在相同的时间里，轨道半径大的卫星与地心的连线在相同时间内扫过的面积大，C错误。
答案 AD
12.(多选)假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法正确的是( )
A.飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度大于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度
B.飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
C.飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D.飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同
解析 飞船在轨道Ⅰ上运动至P点时必须点火加速才能进入轨道Ⅱ，因此飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度，A错误；由开普勒第二定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度，B正确；由公式a＝Geq \f(M,r2)可知，飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；由公式T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可知，因地球质量和火星质量不同，所以飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期不相同，D错误。
答案 BC
13.质量为m的卫星在离地面R0处做匀速圆周运动。设地球的半径也为R0，地面的重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。求：
(1)地球的质量；
(2)卫星的线速度大小。
解析 (1)对地面上质量为m的物体有mg＝Geq \f(Mm,Req \\al(2,0))
解得M＝eq \f(gReq \\al(2,0),G)
(2)设卫星的线速度为v，卫星受到的合力等于万有引力
eq \f(GMm,（2R0）2)＝meq \f(v2,2R0)
解得v＝eq \r(\f(gR0,2))
答案 (1)eq \f(gReq \\al(2,0),G) (2)eq \r(\f(gR0,2))
14.两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度为R，b卫星离地面的高度为3R，则
(1)a、b两卫星运行的线速度大小之比va∶vb是多少？
(2)a、b两卫星的周期之比Ta∶Tb是多少？
(3)a、b两卫星所在轨道处的重力加速度大小之比ga∶gb是多少？
解析 设地球的质量为M，a、b卫星的质量分别为ma、mb。
(1)由万有引力定律和牛顿第二定律
对a卫星有Geq \f(Mma,（2R）2)＝eq \f(ma·veq \\al(2,a),2R)
对b卫星有Geq \f(Mmb,（4R）2)＝eq \f(mb·veq \\al(2,b),4R)
由以上两式得va∶vb＝eq \r(2)∶1。
(2)由开普勒第三定律得eq \f(req \\al(3,a),Teq \\al(2,a))＝eq \f(req \\al(3,b),Teq \\al(2,b))
解以上两式得Ta∶Tb＝eq \r(\f(req \\al(3,a),req \\al(3,b)))＝eq \r(2)∶4。
(3)由万有引力定律和牛顿第二定律有
对a卫星有Geq \f(Mma,（2R）2)＝ma·ga
对b卫星有Geq \f(Mmb,（4R）2)＝mb·gb
由以上两式得ga∶gb＝4∶1。
答案 (1)eq \r(2)∶1 (2)eq \r(2)∶4 (3)4∶1
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
科学态度与责任
1.会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路。
2.了解卫星的发射、运行等情况。
3.知道三个宇宙速度的含义，会计算第一宇宙速度。
4.了解海王星的发现过程，掌握研究天体(或卫星)运动的基本方法，并能用万有引力定律解决相关问题。
人造卫星的发射过程。
人造卫星的运行规律及其参量的比较。
了解人类探索太空的历史、现状及其未来发展的方向。
内容
局限性
地心说
地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动
都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而和丹麦天文学家第谷的观测数据不符
日心说
太阳是宇宙的中心，且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
“自力更生法”
“借助外援法”
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝Geq \f(Mm,R2)
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)或Geq \f(Mm,r2)＝mω2r或Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r
结果
天体(如地球)质量：M＝eq \f(gR2,G)
中心天体质量：M＝eq \f(rv2,G)或M＝eq \f(r3ω2,G)或M＝eq \f(4π2r3,GT2)
数值
意义
说明
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9 km/s
发射的人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度
7.9 km/s是卫星的最小发射速度，也是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，发射速度7.9 km/s＜v＜11.2 km/s，卫星在椭圆轨道上绕地球旋转
第二宇宙速度(脱离速度)
11.2 km/s
发射物体挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度
当11.2 km/s≤v＜16.7 km/s时，卫星脱离地球的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”
第三宇宙速度(逃逸速度)
16.7 km/s
发射物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度
当v≥16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚，跑到太阳系以外的宇宙空间中去
推导式
关系式
结论
线速度
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
v＝eq \r(\f(GM,r))
r越大，v越小
角速度
Geq \f(Mm,r2)＝mrω2
ω＝eq \r(\f(GM,r3))
r越大，ω越小
周期
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)
T＝2πeq \r(\f(r3,GM))
r越大，T越大
向心加速度
Geq \f(Mm,r2)＝ma
a＝eq \f(GM,r2)
r越大，a越小
第3节 人类对太空的不懈探索
知识点一 天体质量的计算
[观图助学]
以上三图都是称量物体质量的仪器，能过用它们称量地球的质量吗？我们如何“称量”地球的质量？
1.天体质量的计算
(1)在地球的表面，如果不考虑地球自转的影响，重力近似等于万有引力，mg＝Geq \f(Mm,R2)，若已知地球的半径即可求得地球的质量，M＝eq \f(gR2,G)。
(2)假设质量为m的天体围绕质量为M的天体近似做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r，则 M＝eq \f(4π2r3,GT2)。
2.重力与万有引力的关系
考虑地球的自转，如图所示，万有引力的一个分力F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，另一个分力F2就是物体的重力mg，故一般情况mg＜Geq \f(Mm,R2)。
[思考判断]
(1)在地球表面，物体受到的地球的万有引力就是重力。(×)
(2)若已知天体m绕天体M做圆周运动的周期和轨道半径，可以求出m的质量。(×)
(3)在地球的两极，物体的重力等于物体受到地球的万有引力。(√)
我们无法应用称量工具直接称出地球的质量，但是如果我们已知地球表面的重力加速度、地球的半径和万有引力常量，则可应用mg＝Geq \f(Mm,R2)计算出地球的质量。
M＝eq \f(gR2,G)中，M是地球的质量，R是地球的半径，g是地球表面的重力加速度，这个等量关系恒成立。
对于赤道上的物体C有Geq \f(Mm,R2)－mg＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)。
知识点二 人造卫星与宇宙速度
1.人造卫星
(1)牛顿的设想：如图所示，当抛出速度足够大时，物体将会围绕地球旋转而不再
落回地面，成为一颗绕地球转动的卫星。
(2)原理：卫星绕地球转动时，万有引力提供向心力，即
eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mrω2，其中r为卫星到地心的距离。
2.宇宙速度
(1)第一宇宙速度大小为7.9__km/s，也叫环绕速度。
(2)第二宇宙速度大小为11.2__km/s，也叫脱离速度。
(3)第三宇宙速度大小为16.7__km/s，也叫逃逸速度。
[思考判断]
(1)人造地球卫星的最小运转半径是地球半径。(√)
(2)第一宇宙速度是发射地球卫星的最小速度。(√)
(3)当发射速度v＞7.9 km/s时，卫星将脱离地球的吸引，不再绕地球运动。(×)
万有引力提供物体做圆周运动的向心力，所以，卫星轨迹圆的圆心都是地心。
第一宇宙速度就是近地卫星的环绕速度。
知识点三 预测未知天体 人类对太空的探索
1.预测未知天体
(1)海王星的发现
在观测天王星时，发现其实际轨道与万有引力计算的轨道不吻合，并由此预测存在另一行星，这就是后来发现的海王星。
(2)意义
巩固了万有引力定律的地位，展现了科学理论超前的预见性。
2.人类对太空的探索
(1)两种学说
(2)牛顿的大综合
牛顿在前人研究的基础上，逐步建立了万有引力定律，是物理学的第一次大综合，形成了以牛顿三大运动定律为基础的力学体系。
[思考判断]
(1)天王星的计算轨道与实际轨道不符是因为受到的未知天体海王星的影响。(√)
(2)对海王星的预测和发现巩固了万有引力定律的地位。(√)
(3)太阳是宇宙的中心，且是静止不动的。(×),
应用万有引力定律，科学家们预测哈雷彗星在2061年还将回归地球！
地心说的代表人物：托勒密(古希腊)
日心说的代表人物：哥白尼(波兰)
两种学说都不正确，因为任何天体都在运动。
核心要点 天体质量和密度的计算
[要点归纳]
1.天体质量的计算
2.天体密度的计算
(1)一般思路：若天体半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，将质量代入可求得密度。
(2)特殊情况
①卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)，将M＝eq \f(4π2r3,GT2)代入得ρ＝eq \f(3πr3,GT2R3)。当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝eq \f(3π,GT2)。
②已知天体表面的重力加速度为g，则ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(\f(gR2,G),\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πRG)。
[经典示例]
[例1] 我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。求：
(1)该星球表面的重力加速度；
(2)该星球的平均密度。
审题提示 (1)应用小球做平抛运动可以求出星球表面的重力加速度。
(2)在星球的表面重力近似等于万有引力。
解析 (1)小球在星球表面做平抛运动，有L＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，解得g＝eq \f(2hv2,L2)。
(2)在星球表面满足eq \f(GMm,R2)＝mg
又M＝ρ·eq \f(4,3)πR3，解得ρ＝eq \f(3hv2,2πGRL2)。
答案 (1)eq \f(2hv2,L2) (2)eq \f(3hv2,2πGRL2)
方法总结 求解天体质量时应明确的问题
万有引力定律和圆周运动知识的结合，应用牛顿运动定律解决天体问题是非常典型的一种题型。解答此类问题应明确以下三点：
(1)利用天体运动求解天体质量时，只能将被求天体作为中心天体，所研究的环绕天体的运动近似为匀速圆周运动进行求解。
(2)由于向心力表达式较多，要根据已知条件选择合适的公式求解。
(3)正确理解向心力表达式中的r的含义，它不是环绕天体到中心天体表面的距离，而是环绕天体球心到中心天体球心的距离。
[针对训练1] 未来世界中，在各个星球间进行远航旅行将成为一件小事。某一天，小华驾驶一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面做匀速圆周运动飞行，飞船只受到该行星引力的作用，已知万有引力常量为G，要测定该行星的密度，仅仅只需测出下列哪一个量( )
A.飞船绕行星运行的周期
B.飞船运行的轨道半径
C.飞船运行时的速度大小
D.该行星的质量
解析 设行星的半径为R，质量为M，飞船的质量为m，飞船绕行星运行的周期为T，由万有引力提供向心力：Geq \f(Mm,R2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)R得M＝eq \f(4π2R3,GT2)，行星的密度ρ＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3π,GT2)，只需测出飞船绕行星运行的周期即可测出其密度，故选A。
答案 A
核心要点 宇宙速度及其理解
[问题探究]
如图所示，美国有部电影叫《光速侠》，是说一个叫Daniel Light的家伙在一次事故后，发现自己拥有了能以光速奔跑的能力。根据所学物理知识分析，如果“光速侠”要以光速从纽约跑到洛杉矶救人，可能实现吗？
答案 不可能实现。当人或物体的速度超过第一宇宙速度时，会脱离地球表面，即在地表运动的速度不能超过第一宇宙速度7.9 km/s。
[探究归纳]
1.三个宇宙速度及其理解
2.第一宇宙速度的理解及计算
(1)对第一宇宙速度的理解：
①“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力。近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度。
②“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)可得v＝eq \r(\f(GM,r))，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，近地卫星的线速度即第一宇宙速度，是最大环绕速度。
(2)第一宇宙速度的计算：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g＝9.8 m/s2，则
[经典示例]
[例2] (多选)下列关于三种宇宙速度的说法中正确的是( )
A.第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2
B.美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度
C.第二宇宙速度是物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造小行星的最小发射速度
D.第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度
解析 根据v＝eq \r(\f(GM,r))可知，卫星的轨道半径r越大，即距离地面越远，卫星的环绕速度越小，v1＝7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，选项D正确；实际上，由于人造卫星的轨道半径都大于地球半径，故卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度都小于第一宇宙速度，选项A错误；美国发射的“凤凰号”火星探测卫星仍在太阳系内，所以其发射速度小于第三宇宙速度，选项B错误；第二宇宙速度是使物体挣脱地球束缚而成为太阳的一颗人造小行星的最小发射速度，选项C正确。
答案 CD
[针对训练2] 已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A.3.5 km/s B.5.0 km/s
C.17.7 km/s D.35.2 km/s
解析 构建公转模型，对卫星由万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，对近地卫星v近地＝eq \r(\f(GM地,r近地))，同理对航天器有v航＝eq \r(\f(GM火,r航))，联立两式有eq \f(v航,v近地)＝eq \r(\f(M火r近地,M地r航))＝eq \f(\r(5),5)，而v近地＝7.9 km/s，解得v航＝3.5 km/s，A项正确。
答案 A
核心要点 人造地球卫星的运动规律及应用
[问题探究]
在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动。请思考：
(1)这些卫星的运动的向心力都是由什么力提供？这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期跟什么因素有关呢？
答案 (1)卫星的向心力是由地球与卫星的万有引力提供，故所有卫星的轨道平面都经过地心。
(2)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \f(4π2,T2)r可知，卫星的线速度、角速度、周期等与其轨道半径有关。
[探究归纳]
1.人造卫星的轨道：卫星绕地球做匀速圆周运动时，由地球对它的万有引力提供向心力。因此卫星绕地球做匀速圆周运动的圆心必与地心重合，而这样的轨道有多种，其中比较特殊的有与赤道共面的赤道轨道和通过两极点上空的极地轨道。当然也存在着与赤道平面呈某一角度的圆轨道。
人造地球卫星的三种轨道
2.卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度与轨道半径的关系
3.地球同步卫星
(1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫做地球同步卫星。
(2)特点：
①确定的转动方向：和地球自转方向一致；
②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h；
③确定的角速度：等于地球自转的角速度；
④确定的轨道平面：所有的同步卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合；
⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km)；
⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s)。
[经典示例]
[例3] (多选)三颗人造地球卫星A、B、C绕地球做匀速圆周运动，如图所示，已知mA＝mB＜mC，则对于三颗卫星，正确的是( )
A.运行线速度关系为vA＞vB＝vC
B.运行周期关系为TA＜TB＝TC
C.向心力大小关系为FA＝FB＜FC
D.半径与周期关系为eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))＝eq \f(Req \\al(3,C),Teq \\al(2,C))
解析 由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以vA＞vB＝vC，选项A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝mreq \f(4π2,T2)得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，所以TA＜TB＝TC，选项B正确；由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝Geq \f(M,r2)，所以aA＞aB＝aC，又mA＝mB＜mC，所以FA＞FB，FB＜FC，选项C错误；三颗卫星都绕地球运动，故由开普勒第三定律得eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))＝eq \f(Req \\al(3,C),Teq \\al(2,C))，选项D正确。
答案 ABD
[针对训练3] 人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如卫星的线速度减小到原来的eq \f(1,2)，卫星仍做匀速圆周运动，则( )
A.卫星的向心加速度减小到原来的eq \f(1,4)
B.卫星的角速度减小到原来的eq \f(1,2)
C.卫星的周期增大到原来的8倍
D.卫星的周期增大到原来的2倍
解析 由公式eq \f(GMm,R2)＝meq \f(v2,R)可知，R＝eq \f(GM,v2)，线速度减为原来的eq \f(1,2)时，其轨道半径R变为原来4倍，由eq \f(GMm,R2)＝mω2·R＝meq \f(4π2,T2)·R＝ma可知，当R变为原来的4倍时，其向心加速度变为原来的eq \f(1,16)，选项A错误；其角速度减小到原来的eq \f(1,8)，选项B错误，其周期增大到原来的8倍，选项C正确，D错误。
答案 C
1.(天体质量的计算)若已知某行星的一颗卫星绕其运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得( )
A.该卫星的质量 B.行星的质量
C.该卫星的平均密度 D.行星的平均密度
解析 利用万有引力定律，只能计算中心天体的质量，故已知卫星的轨道半径和周期，只能计算行星的质量，选项A、C错误，B正确；因不知行星的半径，故不能计算出行星的平均密度，选项D错误。
答案 B
2.(对三个宇宙速度的理解)关于宇宙速度，下列说法正确的是( )
A.第一宇宙速度是能使人造地球卫星飞行的最小发射速度
B.第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
C.第二宇宙速度是卫星在椭圆轨道上运行时的最大速度
D.第三宇宙速度是发射人造地球卫星的最小速度
解析 第一宇宙速度是人造地球卫星的最小发射速度，也是地球卫星绕地球飞行的最大速度，A正确，B错误；第二宇宙速度是在地面上发射物体，使之成为绕太阳运动或绕其他行星运动的人造卫星所必需的最小发射速度，C错误；第三宇宙速度是在地面上发射物体，使之飞到太阳系以外的宇宙空间所必需的最小发射速度，D错误。
答案 A
3.(天体的运行规律)假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳的距离，那么( )
A.地球公转的周期大于火星公转的周期
B.地球公转的线速度小于火星公转的线速度
C.地球公转的加速度小于火星公转的加速度
D.地球公转的角速度大于火星公转的角速度
解析 根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r＝meq \f(v2,r)＝ma＝mω2r得，公转周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，故地球公转的周期较小，选项A错误；公转线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，故地球公转的线速度较大，选项B错误；公转加速度a＝eq \f(GM,r2)，故地球公转的加速度较大，选项C错误；公转角速度ω＝eq \r(\f(GM,r3))，故地球公转的角速度较大，选项D正确。
答案 D
4.(一般卫星与同步卫星)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102 km的预定轨道。“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动。已知地球半径R＝6.4×103 km。下列说法正确的是( )
A.“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小
B.“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小
C.“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小
D.“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小
解析 地球同步卫星距地表36 000 km，由v＝eq \r(\f(GM,r))可知，“悟空”的线速度较大，所以A错误；由ω＝eq \r(\f(GM,r3))可知，“悟空”的角速度较大，即周期较小，由a＝eq \f(GM,r2)可知，“悟空”的向心加速度较大，因此B、D错误，C正确。
答案 C
5.(原创题)科学家在研究太阳系中某行星运行轨道时发现每隔t时间该行星就偏离轨道最大一次，他根据天体运动知识判断可能在该行星外侧还有一颗绕太阳运行的小行星。已知该行星绕太阳公转的半径为R，周期是T，设该行星和小行星都是圆轨道，求小行星与太阳的距离。
解析 设小行星绕太阳运行的周期为T′，则T′＞T，该行星和小行星每隔时间t相距最近一次，t时间内该行星比小行星多运动一周，则有eq \f(t,T)－eq \f(t,T′)＝1
设小行星绕太阳轨道半径为R′，由开普勒第三定律
eq \f(R′3,T′2)＝eq \f(R3,T2)
由以上两式解得R′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,t－T)))eq \s\up12(\f(2,3))R
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(t,t－T)))eq \s\up12(\f(2,3))R
基础过关
1.在现实生活中，绕地球做圆周运动的卫星的线速度( )
A.一定等于7.9 km/s
B.一定小于7.9 km/s
C.大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s
D.只需大于7.9 km/s
解析 卫星绕地球做圆周运动的过程中，万有引力提供向心力，Geq \f(Mm,r2)＝eq \f(mv2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，所以轨道半径r越大，卫星的环绕速度越小；实际生活中，做圆周运动的卫星的轨道半径大于地球的半径，所以环绕速度一定小于7.9 km/s。
答案 B
2.“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T，已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝eq \f(4,3)πR3，则可估算月球的( )
A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期
解析 由万有引力提供向心力有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，由于在月球表面轨道有r＝R，由球体体积公式V＝eq \f(4,3)πR3联立解得月球的密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，A正确。
答案 A
3.“神舟十号”与“天宫一号”在对接前，在各自轨道上运行，它们的轨道如图所示，假定它们都做匀速圆周运动，则( )
A.宇航员在“神舟十号”上不受地球引力作用
B.“天宫一号”的运行周期比“神舟十号”长
C.“天宫一号”的加速度比“神舟十号”大
D.“神舟十号”运行速度较大，要减速才能与“天宫一号”对接
解析 宇航员在“神舟十号”上也受地球引力作用，选项A错误；“神舟十号”与“天宫一号”在对接前，“天宫一号”的轨道半径大于“神舟十号”的轨道半径，根据Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，可得“天宫一号”的运行周期比“神舟十号”长，选项B正确；根据a＝Geq \f(M,r2)，可得“天宫一号”的加速度比“神舟十号”小，选项C错误；“神舟十号”若减速，将做近心运动，会远离“天宫一号”的轨道，选项D错误。
答案 B
4.(多选)质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
A.线速度v＝eq \r(\f(GM,R)) B.角速度ω＝eq \r(gR)
C.运行周期T＝2πeq \r(\f(R,g)) D.向心加速度a＝eq \f(Gm,R2)
解析 探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，万有引力提供向心力，有Geq \f(Mm,R2)＝ma＝meq \f(v2,R)＝mω2R＝meq \f(4π2,T2)R，可得a＝eq \f(GM,R2)，v＝eq \r(\f(GM,R))，ω＝eq \r(\f(GM,R3))，T＝2πeq \r(\f(R3,GM))，所以A正确，D错误；又由于不考虑月球自转的影响，则Geq \f(Mm,R2)＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝eq \r(\f(g,R))，T＝2πeq \r(\f(R,g))，所以B错误，C正确。
答案 AC
5.探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A.轨道半径变小 B.向心加速度变小
C.线速度变小 D.角速度变小
解析 探测器绕月球做圆周运动的向心力由月球的万有引力提供，由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得周期T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，当周期变小时，轨道半径r变小，选项A正确；由Geq \f(Mm,r2)＝ma＝meq \f(v2,r)＝mrω2，得向心加速度a＝Geq \f(M,r2)，线速度v＝eq \r(\f(GM,r))，角速度ω＝eq \r(\f(GM,r3))，可见，轨道半径r变小时，向心加速度、线速度和角速度都将变大，选项B、C、D均错误。
答案 A
6.近地卫星线速度为7.9 km/s，已知月球质量是地球质量的eq \f(1,81)，地球半径是月球半径的3.8倍，则在月球上发射“近月卫星”的环绕速度约为( )
A.1.0 km/s B.1.7 km/s
C.2.0 km/s D.1.5 km/s
解析 由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)得近地(月)卫星的线速度为v＝eq \r(\f(GM,R))。近月卫星与近地卫星的线速度之比为eq \f(v2,v1)＝eq \r(\f(M2R1,M1R2))＝eq \r(\f(3.8,81))，所以近月卫星的线速度v2＝0.22 v1＝0.22×7.9 km/s＝1.7 km/s，选项B正确。
答案 B
7.(多选)在航天领域中，悬绳卫星是一种新兴技术，它要求两颗卫星都在圆周轨道上运动，且两颗卫星与地心连线始终在一条直线上，如图所示。已知悬绳的长度为L，其重力不计，卫星A、B的线速度分别为v1、v2，则下列说法正确的是( )
A.两颗卫星的角速度不相同
B.两颗卫星的线速度满足v1＞v2
C.两颗卫星之间的悬绳一定受到拉力的作用
D.假设在B卫星轨道上还有一颗卫星C(图中没有画出)，它们在同一平面内同向运动，运动一段时间后B、C可能相碰
解析 由题意知，A、B的周期相等，角速度相同，而v＝ωr，故v1＜v2，A、B选项错误；若悬绳对两卫星无拉力作用，则A、B的向心力均等于地球对它们的万有引力，由ω＝eq \r(\f(GM,r3))知，ωA＞ωB，这与事实不符，故悬绳有拉力，C正确；对B卫星：Geq \f(Mm,r2)＋T＝mω2r；而对C卫星：Geq \f(Mm′,r2)＝m′ω′2r，由此知ω≠ω′，时间足够长时，B、C一定会相碰，D正确。
答案 CD
8.(多选)利用下列哪种数据，可以算出地球的质量(引力常量G已知)( )
A.已知地面的重力加速度g
B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和线速度v
D.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
解析 在地面附近重力近似等于万有引力，即Geq \f(Mm,R2)＝mg，故M＝eq \f(gR2,G)，若想计算地球的质量，需要知道g、R和G，故选项A错误；卫星绕地球运动时万有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝mveq \f(2π,T)＝mreq \f(4π2,T2)，故M＝eq \f(v2r,G)＝eq \f(2πr2v,GT)＝eq \f(4π2r3,GT2)，选项B、C正确；由v＝eq \f(2πr,T)得r＝eq \f(vT,2π)，故M＝eq \f(v3T,2πG) ，选项D正确。
答案 BCD
能力提升
9.(多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空。与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其( )
A.角速度小于地球自转角速度
B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期
D.向心加速度小于地面的重力加速度
解析 根据万有引力提供向心力得Geq \f(Mm,（R＋h）2)＝m(R＋h)ω2＝meq \f(v2,（R＋h）)＝m(R＋h)eq \f(4π2,T2)＝ma，解得v＝eq \r(\f(GM,R＋h))，ω＝eq \r(\f(GM,（R＋h）3))，T＝eq \r(\f(4π2（R＋h）3,GM))，a＝eq \f(GM,（R＋h）2)，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于同步卫星的周期，也小于地球的自转周期，选项A错误，C正确；由第一宇宙速度为eq \r(\f(GM,R))可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝eq \f(GM,R2)可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确。
答案 BCD
10.如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动。以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小。以下判断正确的是( )
A.a2＞a3＞a1 B.a2＞a1＞a3
C.a3＞a1＞a2 D.a3＞a2＞a1
解析 设空间站轨道半径为r1，月球轨道半径为r2，同步卫星轨道半径为r3。空间站受月球引力不能忽略，而同步卫星是不计月球吸引力的，这就说明r2＞r1＞r3，根据a1＝ωeq \\al(2,1)r1，a2＝ωeq \\al(2,2)r2，由题意知ω1＝ω2，所以a2＞a1，又因为a3＝Geq \f(M,req \\al(2,3))、a2＝Geq \f(M,req \\al(2,2))，所以a3＞a2，因此a3＞a2＞a1成立，D正确。
答案 D
11.(多选)如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积。下列关系式正确的有( )
A.TA＞TB B.EkA＞EkB
C.SA＝SB D.eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))
解析 卫星做圆周运动，万有引力提供向心力，即Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v2,R)＝mReq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)，得v＝eq \r(\f(GM,R))，T＝2πeq \r(\f(R3,GM))，由RA＞RB，可知TA＞TB，vA＜vB，由于两卫星的质量相等，因此EkA＜EkB，A正确，B错误；由开普勒第三定律，可知eq \f(Req \\al(3,A),Teq \\al(2,A))＝eq \f(Req \\al(3,B),Teq \\al(2,B))，D正确；卫星与地心的连线在t时间内扫过的面积S＝eq \f(t,T)πR2＝eq \f(t\r(GMR),2)，可见在相同的时间里，轨道半径大的卫星与地心的连线在相同时间内扫过的面积大，C错误。
答案 AD
12.(多选)假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法正确的是( )
A.飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度大于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度
B.飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度
C.飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D.飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同
解析 飞船在轨道Ⅰ上运动至P点时必须点火加速才能进入轨道Ⅱ，因此飞船在轨道Ⅰ上经过P点时的速度小于飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度，A错误；由开普勒第二定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P点时的速度大于经过Q点时的速度，B正确；由公式a＝Geq \f(M,r2)可知，飞船在轨道Ⅲ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；由公式T＝2πeq \r(\f(r3,GM))可知，因地球质量和火星质量不同，所以飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期不相同，D错误。
答案 BC
13.质量为m的卫星在离地面R0处做匀速圆周运动。设地球的半径也为R0，地面的重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响。求：
(1)地球的质量；
(2)卫星的线速度大小。
解析 (1)对地面上质量为m的物体有mg＝Geq \f(Mm,Req \\al(2,0))
解得M＝eq \f(gReq \\al(2,0),G)
(2)设卫星的线速度为v，卫星受到的合力等于万有引力
eq \f(GMm,（2R0）2)＝meq \f(v2,2R0)
解得v＝eq \r(\f(gR0,2))
答案 (1)eq \f(gReq \\al(2,0),G) (2)eq \r(\f(gR0,2))
14.两颗卫星在同一轨道平面绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度为R，b卫星离地面的高度为3R，则
(1)a、b两卫星运行的线速度大小之比va∶vb是多少？
(2)a、b两卫星的周期之比Ta∶Tb是多少？
(3)a、b两卫星所在轨道处的重力加速度大小之比ga∶gb是多少？
解析 设地球的质量为M，a、b卫星的质量分别为ma、mb。
(1)由万有引力定律和牛顿第二定律
对a卫星有Geq \f(Mma,（2R）2)＝eq \f(ma·veq \\al(2,a),2R)
对b卫星有Geq \f(Mmb,（4R）2)＝eq \f(mb·veq \\al(2,b),4R)
由以上两式得va∶vb＝eq \r(2)∶1。
(2)由开普勒第三定律得eq \f(req \\al(3,a),Teq \\al(2,a))＝eq \f(req \\al(3,b),Teq \\al(2,b))
解以上两式得Ta∶Tb＝eq \r(\f(req \\al(3,a),req \\al(3,b)))＝eq \r(2)∶4。
(3)由万有引力定律和牛顿第二定律有
对a卫星有Geq \f(Mma,（2R）2)＝ma·ga
对b卫星有Geq \f(Mmb,（4R）2)＝mb·gb
由以上两式得ga∶gb＝4∶1。
答案 (1)eq \r(2)∶1 (2)eq \r(2)∶4 (3)4∶1
核心素养
物理观念
科学探究
科学思维
科学态度与责任
1.会用万有引力定律计算天体质量，掌握天体质量求解的基本思路。
2.了解卫星的发射、运行等情况。
3.知道三个宇宙速度的含义，会计算第一宇宙速度。
4.了解海王星的发现过程，掌握研究天体(或卫星)运动的基本方法，并能用万有引力定律解决相关问题。
人造卫星的发射过程。
人造卫星的运行规律及其参量的比较。
了解人类探索太空的历史、现状及其未来发展的方向。
内容
局限性
地心说
地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动
都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而和丹麦天文学家第谷的观测数据不符
日心说
太阳是宇宙的中心，且是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
“自力更生法”
“借助外援法”
情景
已知天体(如地球)的半径R和天体(如地球)表面的重力加速度g
行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动
思路
物体的重力近似等于天体(如地球)与物体间的万有引力：mg＝Geq \f(Mm,R2)
行星或卫星受到的万有引力充当向心力：
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)或Geq \f(Mm,r2)＝mω2r或Geq \f(Mm,r2)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)r
结果
天体(如地球)质量：M＝eq \f(gR2,G)
中心天体质量：M＝eq \f(rv2,G)或M＝eq \f(r3ω2,G)或M＝eq \f(4π2r3,GT2)
数值
意义
说明
第一宇宙速度(环绕速度)
7.9 km/s
发射的人造地球卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度
7.9 km/s是卫星的最小发射速度，也是卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度，发射速度7.9 km/s＜v＜11.2 km/s，卫星在椭圆轨道上绕地球旋转
第二宇宙速度(脱离速度)
11.2 km/s
发射物体挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度
当11.2 km/s≤v＜16.7 km/s时，卫星脱离地球的束缚，成为太阳系的一颗“小行星”
第三宇宙速度(逃逸速度)
16.7 km/s
发射物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的宇宙空间去的最小发射速度
当v≥16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚，跑到太阳系以外的宇宙空间中去
推导式
关系式
结论
线速度
Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)
v＝eq \r(\f(GM,r))
r越大，v越小
角速度
Geq \f(Mm,r2)＝mrω2
ω＝eq \r(\f(GM,r3))
r越大，ω越小
周期
Geq \f(Mm,r2)＝mreq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))eq \s\up12(2)
T＝2πeq \r(\f(r3,GM))
r越大，T越大
向心加速度
Geq \f(Mm,r2)＝ma
a＝eq \f(GM,r2)
r越大，a越小
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