初中数学人教版九年级上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质精品课时作业

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质精品课时作业，共16页。
一．选择题


1．已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（ ）


A．0B．﹣1C．﹣D．﹣


2．对于二次函数y＝2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（ ）


A．图象开口向下


B．当x＞1时，y随x的增大而减小


C．当x＜1时，y随x的增大而减小


D．图象的对称轴是直线x＝﹣1


3．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：


从上表可知，下列说法中，错误的是（ ）


A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）


B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）


C．抛物线的对称轴是直线x＝0


D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的


4．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）的图象上三个点的坐标分别为A（﹣1，y1），B（2，y2），C（4，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（ ）


A．y3＞y1＞y2B．y3＞y2＞y1C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1


5．已知点A（a+3，y1）、P（﹣a，y2）均在抛物线y＝mx2﹣2mx+n上，若y1＜y2≤n﹣m，则a的取值范围是（ ）


A．a＞﹣3B．a＞﹣C．＜a＜2D．﹣3＜a＜2


6．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其表达式中的二次项系数绝对值最小的是（ ）





A．y1B．y2C．y3D．y4


7．已知二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3（其中x是自变量），当x≥2时，y随x的增大而增大，且当﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，则a的值为（ ）


A．﹣1B．1C．﹣2D．2


8．若点A（x1，5），B（x2，5）是函数y＝x2﹣2x+3上两点，则当x＝x1+x2时，函数值y为（ ）


A．2B．3C．5D．10


9．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（ ）


A．图象的开口向下


B．图象的顶点坐标是（1，2）


C．当x＞1时，y随x的增大而减小


D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）


10．若抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣1）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于直线x＝﹣2对称，则m，n值为（ ）


A．m＝1，n＝10B．m＝2，n＝5C．m＝1，n＝8D．m＝2，n＝7


二．填空题


11．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．则S＝a+b+c的值的变化范围是 ．


12．对于抛物线y＝﹣（x+1）2+4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为（﹣1，4）；④x＞1时，图象从左至右呈下降趋势．其中正确的结论是 （只填序号）．


13．如图，在平面直角坐标系中，两条开口向上的抛物线所对应的函数表达式分别为y＝（2a2﹣1）x2与y＝ax2．若其中一个函数的二次项系数是另一个函数二次项系数的2倍，则a的值为 ．





14．已知抛物线y＝a（x﹣t﹣1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点在直线y＝﹣2x+1上，且经过点（﹣2，5），则这个抛物线的解析式是 ．


15．已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为 ．


三．解答题


16．如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．


（1）求这个二次函数的解析式；


（2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x轴的另一个交点；


（3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．





17．已知x＝1+2m，y＝1﹣m．


（1）求y关于x的函数表达式；


（2）若﹣3≤m≤1，x≤0，求y的取值范围；


（3）若点（x，y）恰好为抛物线y＝ax2﹣ax+1的顶点，求a的值．


18．如图，直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，且顶点Q在直线AB上．


（1）求a，b的值．


（2）点P是第四象限内抛物线上的点，连结OP、AP、BP，设点P的横坐标为t，△OAP的面积为s1，△OBP的面积为s2，记s＝s1+s2，试求s的最值．





19．已知抛物线y＝ax2+3经过点A（﹣2，﹣13）．


（1）求a的值．


（2）若点P（m，﹣22）在此抛物线上，求点P的坐标．


20．如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．


（1）求抛物线的函数解析式；


（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．


①求S关于m的函数表达式；


②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．





参考答案


一．选择题


1．解：∵二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1，


当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，


可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，


则，


解得：a＝﹣2，


则关于x的一元二次方程（a﹣2）x2﹣（a+2）x+1＝0为﹣4x2+1＝0，


则两根之积为，


故选：D．


2．解：A、y＝2（x﹣1）2﹣8，


∵a＝2＞0，


∴图象的开口向上，故本选项错误；


B、当x＞1时，y随x的增大而增大；故本选项错误；


C、当x＜1时，y随x的增大而减小，故本选项正确；


D、图象的对称轴是直线x＝1，故本选项错误．


故选：C．


3．解：


当x＝﹣2时，y＝0，


∴抛物线过（﹣2，0），


∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；


当x＝0时，y＝6，


∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；


当x＝0和x＝1时，y＝6，


∴对称轴为x＝，故C错误；


当x＜时，y随x的增大而增大，


∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；


故选：C．


4．解：y＝ax2﹣2ax+b（a＞0），


对称轴是直线x＝﹣＝1，


即二次函数的开口向上，对称轴是直线x＝1，


即在对称轴的右侧y随x的增大而增大，


A点关于直线x＝1的对称点是D（3，y1），


∵2＜3＜4，


∴y3＞y1＞y2，


故选：A．


5．解：抛物线y＝mx2﹣2mx+n的对称轴为x＝1，


当x＝1时，函数有最值n﹣m，


∵y1＜y2≤n﹣m，


∴函数有最大值，


∴m＜0，


∵A（a+3，y1）、P（﹣a，y2），且y1＜y2≤n﹣m，


∴|1+a|＜|a+3﹣1|，


∴a＞﹣，


故选：B．


6．解：由图象可知：


抛物线y1的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，4），根据待定系数法求得y1＝2（x﹣1）2；


抛物线y2的顶点为（1，0），与y轴的一个交点为（0，2），根据待定系数法求得y2＝（x﹣1）2；


抛物线y3的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），根据待定系数法求得y3＝（x﹣1）2；


抛物线y4的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，﹣b）且﹣b＜﹣4，根据待定系数法求得y4＝﹣（x﹣1）2；


综上，二次项系数绝对值最小的是y3


故选：C．


7．解：∵二次函数y＝ax2+2ax+3a2+3＝a（x+1）2+3a2﹣a+3（其中x是自变量），


∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，


∵当x≥2时，y随x的增大而增大，


∴a＞0，


又∵当﹣2≤x≤1时，y的最大值为9，


∴x＝1时，y＝9，


即9＝a（1+1）2+3a2﹣a+3，


解得，a1＝﹣2（舍去），a2＝1，


由上可得，a的值是1，


故选：B．


8．解：∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，点A（x1，5）B（x2，5）是函数y＝x2﹣2x+3上两点，


∴＝1，


∴x＝x1+x2＝2，


∴y＝（2﹣1）2+1＝3，


故选：B．


9．解：A、因为a＝3＞0，所以开口向上，错误；


B、顶点坐标是（1，2），正确；


C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；


D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；


故选：B．


10．解：由抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣1）x﹣3可知抛物线M的对称轴为直线x＝，交y轴于点（0，﹣3），


抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，


∵抛物线M：y＝x2﹣（3m﹣1）x﹣3与抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5关于直线x＝﹣2对称，


∴（﹣5）＝﹣2，


解得m＝1，


∴点（0，﹣3）关于直线x＝﹣2对称的点（﹣4，﹣3），在抛物线M′：y＝x2+10x+2n+5上，


∴把点（﹣4，﹣3）代入得﹣3＝16﹣40+2n+5，


解得n＝8，


故选：C．


二．填空题


11．解：将点（0，1）和（﹣1，0）分别代入抛物线解析式，得c＝1，a＝b﹣1，


∴S＝a+b+c＝2b，


由题设知，对称轴x＝，


∴2b＞0．


又由b＝a+1及a＜0可知2b＝2a+2＜2．


∴0＜S＜2．


故本题答案为：0＜S＜2．


12．解：∵抛物线y＝﹣（x+1）2+4，


∴a＝﹣＜0，该抛物线的开口向下，故①正确；


对称轴是直线x＝﹣1，故②错误；


顶点坐标为（﹣1，4），故③正确；


当x＞﹣1时，图象从左至右呈下降趋势，故④正确；


故答案为：①③④．


13．解：由图象可知，根据题意2a＝2a2﹣1，


解得a＝，


∵抛物线开口向上，


∴a＝，


故答案为．


14．解：抛物线y＝a（x﹣t﹣1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）的顶点坐标为（t+1，t2），


把（t+1，t2）代入y＝﹣2x+1得﹣2（t+1）+1＝t2，解得t＝﹣1，


把（﹣2，5）代入y＝ax2+1得4a+1＝5，解得a＝1，


所以抛物线的解析式为y＝x2+1．


故答案为y＝x2+1．


15．解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，


∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，


∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，


∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，


∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，


∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，


故答案为：9．


三．解答题


16．解：（1）∵的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，


∴，解得b＝4，c＝﹣6，


∴这个二次函数的解析式为，


（2）＝﹣（x2﹣8x+16）+8﹣6＝﹣（x﹣4）2+2，


∴二次函数图象的顶点坐标为（4，2）、对称轴为x＝4、


二次函数图象与x轴相交时：0＝﹣（x﹣4）2+2，


解得：x＝6或2，


∴另一个交点为：（6，0），


（3）作图如右．





17．解：（1）由x＝1+2m得：，


∴；





（2）当x≤0时，1+2m≤0，


解得，


∴，


∴≤﹣m≤3


∴．


（3）抛物线y＝ax2﹣ax+1的对称轴为直线，即，


∴，即，，


把顶点代入y＝ax2﹣ax+1，得：，


解得：a＝﹣1．


18．解：（1）∵直线y＝2x﹣8分别交x轴、y轴于点A、点B，


∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣8）．


∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A，点O，


∴抛物线的对称轴为直线x＝2．


当x＝2时，y＝2x﹣8＝﹣4，


∴抛物线顶点Q的坐标为（2，﹣4）．


将A（4，0），Q（2，﹣4）代入y＝ax2+bx，得：


，解得：．


（2）由（1）得：抛物线解析式为y＝x2﹣4x，


∵点P的横坐标为t，


∴点P的坐标为（t，t2﹣4t），


∴s1＝×4×（4t﹣t2）＝8t﹣2t2，s2＝×8×t＝4t，


∴s＝s1+s2＝﹣2t2+12t＝﹣2（t﹣3）2+18．


∵﹣2＜0，且0＜t＜4，


∴当t＝3时，s取得最大值，最大值为18．





19．解：（1）将点A（﹣2，﹣13）．代入y＝ax2+3，得﹣13＝4a+3，


解得a＝﹣4，


∴抛物线的函数解析式为y＝﹣4x2+3，


（2）∵点P（m，﹣22）在此抛物线上，


∴﹣22＝﹣4m2+3，


解得m＝±，


∴点P的坐标为（，﹣22）或（﹣，﹣22）．


20．解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得


，


解得：，


∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8；





（2）①∵OA＝8，OC＝6，


∴AC＝＝10，


过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB＝＝＝，


∴＝，


∴QE＝（10﹣m），


∴S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m；





②∵S＝•CP•QE＝m×（10﹣m）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣5）2+，


∴当m＝5时，S取最大值；


在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，


∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+8的对称轴为x＝，


D的坐标为（3，8），Q（3，4），


当∠FDQ＝90°时，F1（，8），


当∠FQD＝90°时，则F2（，4），


当∠DFQ＝90°时，设F（，n），


则FD2+FQ2＝DQ2，


即+（8﹣n）2++（n﹣4）2＝16，


解得：n＝6±，


∴F3（，6+），F4（，6﹣），


满足条件的点F共有四个，坐标分别为


F1（，8），F2（，4），F3（，6+），F4（，6﹣）．








x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…