2021中考数学复习专题-【圆周角定理】专项 特训

[圆周角]专项复习特训
一．选择题
1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC＝110°，AD∥OC，则∠ABD等于（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
2．如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠OFE的度数是（　　）

A．30° B．20° C．40° D．35°
3．如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE，如果∠DOE＝40°，那么∠A的度数为（　　）

A．35° B．40° C．60° D．70°
4．如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于（　　）

A．20° B．25° C．30° D．32.5°
5．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝54°，则∠ABO的度数是（　　）

A．54° B．27° C．36° D．108°
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝55°，则∠DAC的度数为（　　）

A．70° B．67.5° C．62.5° D．65°
7．如图，AC、BD是⊙O的两条相交弦，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的直径是（　　）

A．2 B．4 C． D．2
8．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝140°，则∠D的度数是（　　）

A．20° B．30° C．40° D．70°
9．如图，AB为⊙O直径，BC＝8，AC＝6，CD平分∠ACB，则AD＝（　　）

A．5 B．6 C．5 D．2
10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于点D，若∠ABC＝30°，则∠CAD的度数为（　　）

A．100° B．105° C．110° D．120°
11．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，∠A＝26°，则∠D度数是（　　）

A．26° B．38° C．52° D．64°
12．如图，点A、点B、点C是⊙O上逆时针分布的三点，将沿BC对折后恰好经过圆心O，将沿AC对折后也恰好经过圆心O，则∠ACB的度数是（　　）

A．45° B．50° C．55° D．60°
二．填空题
13．如图，⊙O为锐角ABC的外接圆，若∠BAO＝15°，则∠C的度数为　 　．

14．Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝8，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为　 　．

15．如图，在⊙O中，A，B，C是⊙O上三点，如果∠AOB＝74°，那么∠C的度数为　 　．

16．如图，在半径为4的⊙O中，AB，CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交⊙O于点E．若DE＝（EM＞MC），则sin∠EOM的值为　 　．

17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是平面内的一个动点，且满足∠AEB＝90°，连接CE，则线段CE长的最大值为　 　．

三．解答题
18．如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC＝，求⊙O的半径．




19．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD＝3，BE＝，求半圆和菱形ABFC的面积．




20．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．
（1）求证：∠OCF＝∠BCD；
（2）若CD＝8，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．




21．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．
（1）求证：BD＝CD；
（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．




22．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且BD∥OC，
（1）求证：；
（2）若∠AOC＝45°，OA＝2，求弦BD的长．




23．如图，AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的外接圆⊙O的直径．
（1）求证：∠BAE＝∠CAD
（2）若，AB＝6，求⊙O的半径r．


参考答案
一．选择题
1．解：∵∠BOC＝110°，
∴∠AOC＝180°﹣110°＝70°，
∵AD∥OC，
∴∠AOC＝∠DAB＝70°，
∵AB是直径，
∴∠ABD＝90°﹣70°＝20°，
故选：A．
2．解：如图，连接BF，OE．

∵EF＝EB，OE＝OE，OF＝OB，
∴△OEF≌△OEB（SSS），
∴∠OFE＝∠OBE，
∵OE＝OB＝0F，
∴∠OEF＝∠OFE＝∠OEB＝∠OBE，∠OFB＝∠OBF，
∵∠ABF＝∠AOF＝20°，
∴∠OFB＝∠OBE＝20°，
∵∠OFB+∠OBF+∠OFE+∠OBE+∠BEF＝180°，
∴4∠EFO+40°＝180°，
∴∠OFE＝35°，
故选：D．
3．解：连接CD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∵∠DOE＝40°，
∴∠ACD＝∠DOE＝20°，
∴∠A＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝70°，
故选：D．
4．解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
5．解：∵∠ACB＝54°，
∴圆心角∠AOB＝2∠ACB＝108°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO＝（180°﹣∠AOB）＝36°，
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠CBE＝55°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝180°﹣55°＝125°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣125°＝55°，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠DAC）＝（180°﹣55°）＝62.5°，
故选：C．
7．解：连接OB，作OE⊥BC于E，如图所示：
∵∠A＝∠CDB＝60°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝∠ACB＝60°，
∴△ACB为等边三角形，
∴BC＝AC＝2，∠OBE＝30°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝BC＝，
∴OE＝BE＝1，OB＝2OE＝2，
∴⊙O的直径＝2OB＝4；
故选：B．

8．解：∵∠AOC＝140°，
∴∠BOC＝40°，
∵∠BOC与∠BDC都对，
∴∠D＝∠BOC＝20°，
故选：A．
9．解：连接OD，

∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∵BC＝8，AC＝6，
∴AB＝10，
∴OA＝OD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴，
即D为的中点，
∴∠AOD＝90°，
∴AD＝，
故选：C．
10．解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝45°，
∵∠BAD＝∠BCD＝45°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+45°＝105°．
故选：B．
11．解：连接OC，如图，
∵∠A＝26°，
∴∠BOC＝2∠A＝52°，
∵AB⊥CD，
∴∠OCD＝90°﹣∠BOC＝90°﹣52°＝38°，
∵OC＝OD，
∴∠D＝∠OCD＝38°．
故选：B．

12．解：连接OC，作OE⊥AC于E，交⊙O于D，作OG⊥BC于G，交⊙O于F，如图所示：
由折叠的性质得：OE＝DE＝OD＝OC，
∴∠OCA＝30°，
同理：∠OCB＝30°，
∴∠ACB＝∠OCA+∠OCB＝60°；
故选：D．

二．填空题
13．解：连接OB，如图，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝15°，
∴∠AOB＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠C＝∠AOB＝75°．
故答案为75°．

14．解：如图，取AB的中点O，连接OC，OP，PC．

∵∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝90°，∠PBC＝∠PAB，
∴∠ABP+∠PAB＝90°，
∴∠APB＝90°，
∵OA＝OB，
∴OP＝AB＝4，OC＝＝＝4，
∵PC≥OC﹣OP，
∴PC≥4﹣4，
∴PC的最小值为4﹣4，
故答案为4﹣4．
15．解：∵∠AOB与∠ACB都对，且∠AOB＝74°，
∴∠ACB＝∠AOB＝37°，
故答案为：37°．
16．解：∵DC为⊙O的直径，
∴∠CED＝90°，
∵DC＝8，DE＝，
∴EC＝＝＝7．
设EM＝x，由于M为OB的中点，
∴BM＝2，AM＝6
∴AM•MB＝x•（7﹣x），（3分）
即6×2＝x（7﹣x），x2﹣7x+12＝0
解这个方程，得x1＝3，x2＝4
∵EM＞MC
∴EM＝4
∵OE＝EM＝4
∴△OEM为等腰三角形
过E作EF⊥OM于F，垂足为F，
则OF＝OM＝1
∴EF＝＝＝，
∴sin∠EOM＝＝；
故答案为：．

17．解：∵∠AEB＝90°，
∴点E在以AB为直径的圆上，如图所示，设圆心为O，

∵AB＝4，AB是⊙O的直径，
∴OE＝2，
在Rt△OBC中，OC＝，
∴当点E在CO的延长线上时，CE有最大值，
∴CE的最大值＝OE+OC＝2+2，
∴CE的最大值＝2+2．
故答案为：2+2．
三．解答题
18．解：
过A作AF⊥BD于F，并延长AF交⊙O于E，连接DE、AD，
∵点A恰为的中点，
∴BF＝DF＝BD＝，AE过圆心O，
∵AC＝9，sinC＝，
∴sinC＝＝，
∴AF＝3，
由勾股定理得：AD＝＝＝5，
∵AE过圆心O，
∴∠ADE＝90°，
∵AF⊥BC，
∴∠AFD＝∠ADE＝90°，
∵∠DAF＝∠EAD，
∴△ADF∽△AED，
∴＝，
∴＝，
∴AE＝，
即⊙O的半径为．
19．（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC．
∵AB＝AC，
∴BE＝CE．
∵AE＝EF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
又∵AC＝AB，
∴四边形ABFC是菱形．
（2）解：设CD＝x．连接BD，如图所示．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，
∴（3+x）2﹣32＝2﹣x2，
解得：x1＝2，x2＝﹣5（不合题意，舍去），
∴AB＝AC＝5，BD＝，
∴S菱形ABFC＝AC×BD＝20，
∴S半圆＝×π×π．

20．（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，
∴，
∴∠BCD＝∠BFC，
∵BF∥OC
∴∠OCF＝∠BFC，
∴∠OCF＝∠BCD；
（2）解：∵AB⊥CD，
∴CE＝CD＝4，
∵∠OCF＝∠BCD
∴tan∠OCF＝tan∠BCD＝＝，
∵CE＝4，
∴BE＝2，
设OC＝OB＝x，则OE＝x﹣2，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：x2＝（x﹣2）2+42，
解得：x＝5，
即⊙O半径的长为5．
21．（1）证明：如图，连接AD．
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD．

（2）解：如图，连接OE．

∵四边形AODE是菱形，
∴OA＝OE＝AE，
∴△AOE是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵OA＝OB＝BD＝CD
∴AE＝EC，
∴CD＝CE，∵∠C＝60°，
∴△EDC是等边三角形，
∵DH⊥EC，CD＝4，
∴DH＝CD•sin60°＝2．
22．（1）证明：∵BD∥OC，
∴∠D＝∠COD，∠B＝∠COA，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠D，
∴∠D＝∠COD＝∠B＝∠AOC，
即∠COA＝∠DOC，
∴＝；

（2）解：∵∠AOC＝45°，∠D＝∠COD＝∠B＝∠AOC，
∴∠D＝∠COD＝∠B＝∠AOC＝45°，
∴∠DOB＝90°，
∵OD＝OB＝OA＝2，
∴由勾股定理得：BD＝＝＝2．
23．（1）证明：连接BE，∴∠C＝∠E，
∵AE是△ABC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
即∠BAE+∠E＝90°，
∵AD是△ABC中BC边上的高，
∴∠C+∠CAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD；

（2）解：∵，
∴sin∠BAE＝＝，
∵AB2+BE2＝AE2，AB＝6，
∴36+（AE）2＝AE2．
解得AE＝，
∴r＝．