人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试优秀同步达标检测题

这是一份人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试优秀同步达标检测题，共13页。试卷主要包含了下列四组数中，是勾股数的是，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题


1．下列四组数中，是勾股数的是（ ）


A．0.3，0.4，0.5B．32，42，52


C．3，4，5D．


2．用反证法证明“a＜1”，应先假设（ ）


A．a≥1B．a＞1C．a＝1D．a≠1


3．直角三角形的周长为22，斜边长为10，则其面积为（ ）


A．22B．11C．24D．48


4．如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为48，小正方形的面积为6，则（a+b）2的值为（ ）





A．60B．79C．84D．90


5．下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）


A．7，24，25B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，6


6．下列说法正确的是（ ）


A．11，40，41是勾股数


B．一个直角三角形的两边分别是3和4，则斜边长为5


C．±＝±7


D．的平方根是±4


7．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（ ）


A．a2＝1，b2＝2，c2＝3B．a：b：c＝3：4：5


C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A+∠B＝∠C


8．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方形的木块，已知AD＝6米，AB＝5米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）





A．13B．10C．D．


9．如图，已知圆柱底面的周长为4，圆柱的高为2，在圆柱的侧面上，过点A和点C有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长的最小值为（ ）





A．B．C．D．


10．如图，高速公路上有A、B两点相距10km，C、D为两村庄，已知DA＝4km，CB＝6km．DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则EA的长是（ ）km．





A．4B．5C．6D．


二．填空题


11．用反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．证明时，可以先假设 ．


12．已知直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的高为 cm．


13．如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为 ．





14．已知直角三角形的两边a，b满足a2+＝10a﹣25，则△ABC的面积为 ．


15．在△ABC中，若a2+b2＝25，a2b2＝7，c＝5，则最长边上的高为 ．


16．棱长分别为8cm，6cm的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱E1F1的中点．一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是 cm．





17．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，BC＝14，则△ABC的面积为





18．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子（1丈＝10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为 ．


19．甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行．2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距40海里，则乙船的速度是 ．





20．探索勾股数的规律：观察下列各组数：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）…请写出下一数组： ．


三．解答题


21．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别用a，b，c来表示，且a，b，c满足关系式： +|b﹣a+1|+（c﹣5）2＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由．


22．证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60度．


23．如图，已知等腰△ABC，AB＝AC，BC＝，AB＝5，求AC边上的高BD的长．





24．如图所示，甲、乙两轮船于上午8点时同时从码头O分别向北偏东32°和北偏西58°的方向出发，甲轮船的速度为海里/时，乙轮船的速度为海里/时，则上午10时两轮船相距多少海里？





25．中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB＝90°．着AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形解决下列问题：


（1）试说明：a2+b2＝c2；


（2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求（a+b）2的值．





26．我们知道，以3，4，5为边长的三角形是直角三角形，称3，4，5为勾股数组，记为（3，4，5），可以看作（22﹣1，2×2，22+1）；同时8，6，10也为勾股数组，记为（8，6，10），可以看作（32﹣1，2×3，32+1）．类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15，8，17）．


（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组；


（2）若设勾股数组中间的数为2n（n≥2，且n为整数），根据上述规律，请直接写出这组勾股数组．


27．如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，求蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离．








参考答案与试题解析


一．选择题


1．解：A、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，不是勾股数，故本选项不符合题意；


B、（32）2+（42）2≠（52）2，不是勾股数，故本选项不符合题意；


C、32+42＝52，是勾股数，故本选项符合题意；


D、（）2+（）2≠（）2，不是勾股数，故本选项不符合题意．


故选：C．


2．解：反证法证明“a＜1”，应先假设a≥1，


故选：A．


3．解：设这个直角三角形的一条直角边为x，则另一条边为22﹣10﹣x，


由勾股定理得，x2+（12﹣x）2＝102，


化简得，x（12﹣x）＝22，


∴这个直角三角形的面积等于×x（12﹣x）＝×22＝11．


故选：B．


4．解：由图可知，（b﹣a）2＝6，


4×ab＝48﹣6＝42，


∴2ab＝42，


∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝6+2×42＝90．


故选：D．


5．解：A、72+242＝252，能构成直角三角形；


B、72+122≠132，不能构成直角三角形；


C、52+92≠122，不能构成直角三角形；


D、32+42≠62，不能构成直角三角形．


故选：A．


6．解：A、∵112+402≠412，∴11，40，41不是勾股数，故本选项不符合题意；


B、若这个直角三角形的两直角边分别是3和4，则斜边长为5，但是这里4也可以是斜边，故本选项不符合题意；


C、49的平方根是±7，即±＝±7，故本选项符合题意；


D、＝4，4的平方根是±2，故本选项不符合题意；


故选：C．


7．解：A、1+2＝3，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；


B、52＝32+42，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；


C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC一定不是直角三角形，符合题意；


D、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；


故选：C．


8．解：由题意可知，将木块展开，


相当于是AB+2个正方形的宽，


∴长为5+2×1＝7米；宽为6米．


于是最短路径为：＝（米）．


故选：D．





9．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．


∵圆柱底面的周长为4，圆柱高为2，


∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2，


∴AC2＝22+22＝4+4＝8，


∴AC＝2，


∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝4．


故选：D．





10．解：设BE＝x，则AE＝（10﹣x）km，


由勾股定理得：


在Rt△ADE中，


DE2＝AD2+AE2＝42+（10﹣x）2，


在Rt△BCE中，


CE2＝BC2+BE2＝62+x2，


由题意可知：DE＝CE，


所以：62+x2＝42+（10﹣x）2，


解得：x＝4km．


所以，EB的长是4km．


所以，EA＝10﹣4＝6（km）．


故选：C．





二．填空题


11．解：反证法证明：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．


证明时，可以先假设这两个角所对的边相等，


故答案为：这两个角所对的边相等．


12．解：∵直角三角形的两直角边长分别为5cm和12cm，


∴斜边长为：＝13cm，


设斜边上的高为xcm，


则，


解得，x＝，


即斜边上的高为cm，


故答案为：．


13．解：根据勾股定理可得a2+b2＝13，


四个直角三角形的面积是： ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，


则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，


则a+b＝5．


故答案为：5．


14．解：∵a2+＝10a﹣25，


∴a2﹣10a+25+＝0，


∴（a﹣5）2+＝0，


∴a﹣5＝0，b﹣3＝0，


解得，a＝5，b＝3，


∵直角三角形的两边a，b，


∴当a、b为直角边时，△ABC的面积为：3×5÷2＝7.5，


当a是斜边时，另一条直角边长是：＝4，则△ABC的面积为：3×4÷2＝6，


故答案为：7.5或6．


15．解：∵a2+b2＝25，c＝5，


∴a2+b2＝c2，


∴△ABC是直角三角形，


∵a2b2＝7，


∴ab＝，


∴S△ACB＝＝，


设最长边上的高为x，


则•x×5＝，


解得：x＝，


故答案为：．


16．解：如图，有两种展开方法：


方法一：PA＝＝（cm），


方法二：PA＝＝（cm）．





故需要爬行的最短距离是cm．


故答案为：．


17．解：如图，过点A作AD⊥BC于D，


设BD＝x，则CD＝14﹣x，


在Rt△ABD中，AD2+x2＝132，


在Rt△ADC中，AD2＝152﹣（14﹣x）2，


∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2，


132﹣x2＝152﹣196+28x﹣x2，


解得x＝9，


∴CD＝5，


在Rt△ACD中，AD＝＝12，


∴△ABC的面积＝BC•AD＝×14×12＝84，


故答案为：84．





18．解：设折断后的竹子高AC为x尺，则AB长为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：


AC2+BC2＝AB2，


即：x2+32＝（10﹣x）2，


解得：x＝4.55，


故答案为：4.55尺．





19．解：∵甲的速度是12海里/时，时间是2小时，


∴AC＝24海里．


∵∠EAC＝35°，∠FAB＝55°，


∴∠CAB＝90°．


∵BC＝40海里，


∴AB＝＝32海里．


∵乙船也用2小时，


∴乙船的速度是16海里/时．


故答案为：16海里/时．


20．解：∵（3，4，5）：3＝2×1+1，4＝2×12+2×1，5＝2×12+2×1+1；


（5，12，13）：5＝2×2+1，12＝2×22+2×2，13＝2×22+2×2+1；


（7，24，25）：7＝2×3+1，24＝2×32+2×3，25＝2×32+2×3+1；


（9，40，41）：9＝2×4+1，40＝2×42+2×4，41＝2×42+2×4+1；


∴下一组数为：11＝2×5+1，60＝2×52+2×5，61＝2×52+2×5+1，


故答案为：（11，60，61）．


三．解答题


21．解：△ABC是直角三角形．


理由是：据题意得：a﹣13＝0，b﹣a+1＝0，c﹣5＝0，


解得：a＝13，c＝5，b＝12，


∵b2+c2＝122+52＝169＝132＝a2，


∴△ACB是直角三角形．


22．证明：假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即都大于60°；


那么，这个三角形的三个内角之和就会大于180°；


这与定理“三角形的三个内角之和等于180°”相矛盾，原命题正确．


23．解：过点A作AE⊥BC于点E，


∵等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝，


∴BE＝BC＝，


∴AE＝＝，


∴S△ABC＝BC•AE＝，


∵S△ABC＝AC•BD，


∴BD＝＝3．





24．解：∵甲、乙两轮船于上午8点时同时从码头O分别向北偏东32°和北偏西58°的方向出发，


∴∠BOA＝32°+58°＝90°，


∵甲轮船的速度为海里/时，乙轮船的速度为海里/时，


∴BO＝2海里，AO＝2海里，


∴AB＝


＝


＝10（海里），


答：上午10时两轮船相距10海里．


25．解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2，


∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2即c2＝a2+b2；


（2）由图可知：


（b﹣a）2＝3，4×ab＝13﹣3＝10，


∴2ab＝10，


∴（a+b）2＝（b﹣a）2+4ab＝3+2×10＝23．


26．解：（1）上述四组勾股数组的规律是：32+42＝52，62+82＝102，82+152＝172，


即（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，


所以第5个勾股数组为（12，35，37）．


（2）勾股数为n2﹣1，2n，n2+1．


27．解：如图：


将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，


连接A′B，则A′B即为最短距离，


A′B＝＝20（cm）．


答：蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离是20cm．