关于二面角是锐角还是钝角的解决方案

如何判断二面角！是锐角？还是钝角?

高考的二面角的平面角往往出现的都是钝角！

1、钝角或锐角的困惑

设二面角的平面角为，两个平面的法向量为，求二面角的成角的余弦时，需要通过图形直观感知——也就是老师们常说的由图可知.

当为锐角时，；

当为钝角时，.

那么好吧，问题就来了，我怎么知道二面角的平面角到底是锐角还是钝角？

2、准备知识

首先通过几张图体会向量指向二面角的内侧与外侧.

3、四种情况的分析

当两个半平面的法向量同时都指向二面角的内侧或外侧时，此时，二面角的平面角与两向量的夹角互补:.

当两个半平面的法向量一个指向外侧，一个指向内侧时，此时,二面角的平面角与两向量的夹角相等，.

4、总结规律（同负异正）

5、给具体向量坐标判断指向内外侧

【答】平面的法向量的坐标是负的，所以指向轴的负方向，根据图形可以判断，向下的向量是指向二面角的内侧.

6、小试牛刀

(2017全国Ⅰ理18)

如图，在四棱锥中，中，且.

（1）证明：平面面：

（2）若,,求二面角的余弦值.

7、解答第1部分(请忽略)

（1），,

又,又平面,

平面,又平面,平面平面.

（2）取中点，中点,连接，,

,四边形为平行四边形,

,由（1）知,平面,平面,

又平面,,

又,,两两垂直.

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

设,、、、，

、、，

设为平面的法向量，

由得

8、检验学习效果的时候到啦

情况1

情况2

令,则,,可得平面的一个法向量,

（,方向向上，由图可知指向二面角的外侧）

,,

又知平面,平面,

,又,平面,

即是平面的一个法向量，,

（,方向向上，由图可知指向二面角的外侧）

.

（两个向量都是外侧，同负异正可得“-”）

故二面角的平面角的余弦值为.

综述：虽然法向量的选择不同，但是最终计算岀的结果是相同的.