高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）学案，共14页。学案主要包含了知识点一，知识点二等内容，欢迎下载使用。

导学目标：


在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题．


（预习教材P2~ P5，回答下列问题）


我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法．


【知识点一】常见的函数模型





自我检测1：某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．








【知识点二】函数模型解决实际问题的基本思路


























题型一 一次、二次函数模型


【例1】某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低成


成，售出商品数量就增加成，要求售价不能低于成本价．


（1）设该商店一天的营业额为，


试求与之间的函数关系式，并写出定义域；


（2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求的取值范围．











题型二 分段函数模型


【例2】某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：


①如果不超过200元，则不予优惠；


②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；


③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.


若设一次购物付款总额为元，优惠后实际付款为元.


（1）试写出用表示的函数关系；


（2）某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款多少元？

















题型三 对勾函数模型


【例3】年任丘市某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元.每生产(百辆)新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.


（1）求出年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式；


(利润销售额成本)


（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
































1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )





2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．


3．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.





某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．











4．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.





（1）将y表示为x的函数；


（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．








§3.4函数的应用答案


导学目标：


在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题．


（预习教材P2~ P5，回答下列问题）


我们学习过的一次函数、二次函数、幂函数等都与现实世界有紧密联系，下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法．


【知识点一】常见的函数模型





自我检测1：某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．


【答案】令y＝60，


若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；


若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；


若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．


故拟录用人数为25人．























【知识点二】函数模型解决实际问题的基本思路























题型一 一次、二次函数模型


【例1】某商品每件成本价80元，售价100元，每天售出100件．若售价降低成


成，售出商品数量就增加成，要求售价不能低于成本价．


（1）设该商店一天的营业额为，


试求与之间的函数关系式，并写出定义域；


（2）若再要求该商品一天营业额至少10260元，求的取值范围．


【答案】（1）依题意，；


又售价不能低于成本价，所以，解得．


所以，定义域为．


（2）由题意得，化简得：，


解得．又因为


所以．








题型二 分段函数模型


【例2】某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：


①如果不超过200元，则不予优惠；


②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；


③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠.


若设一次购物付款总额为元，优惠后实际付款为元.


（1）试写出用表示的函数关系；


（2）某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款多少元？


【答案】（1）根据优惠方法可知：；


（2）当时，，当时，，解得，


，故一次购买应付元．





题型三 对勾函数模型


【例3】年任丘市某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元.每生产(百辆)新能源汽车，需另投入成本万元，且由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.


（1）求出年的利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式；


(利润销售额成本)


（2）年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.


【答案】（1）当时，





当时，





所以


（2）当时，，


当时，；


当时，，


(当且仅当，即时，“”成立)


因为，所以，当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.











1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )





【答案】C


2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq \f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为________万件．


【答案】18


3．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.





某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．


【答案】由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，


y


∵y＝30＞25


∴x＞1100


∴0.1（x﹣1100）+25＝30


解得，x＝1150，


1150﹣30＝1120，


故此人购物实际所付金额为1120元．


4．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x（单位：元）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y.





（1）将y表示为x的函数；


（2）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．


【答案】（1）设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式；（2）根据（1）中所得函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值


试题解析：（1）如图，设矩形的另一边长为a m


则45x+180（x-2）+180·2a=225x+360a-360


由已知xa=360,得a=,


所以y=225x+


（2）


．当且仅当225x=时，等号成立．


即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．























名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝eq \f(k,x)＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c


顶点式：y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a)
a≠0
幂函数模型
y＝axn＋b
a≠0，n≠1
分段函数模型
这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，应用也十分广泛
名称
解析式
条件
一次函数模型
y＝kx＋b
k≠0
反比例函数模型
y＝eq \f(k,x)＋b
k≠0
二次函数模型
一般式：y＝ax2＋bx＋c


顶点式：y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(b,2a)))2＋eq \f(4ac－b2,4a)
a≠0
幂函数模型
y＝axn＋b
a≠0，n≠1
分段函数模型
这个模型实则是以上两种或多种模型的综合，应用也十分广泛