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数学华师大版17.1 变量与函数教案设计
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这是一份数学华师大版17.1 变量与函数教案设计，共5页。教案主要包含了创设情境，探究归纳，实践应用，交流反思，检测反馈等内容，欢迎下载使用。
知识技能目标
1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；
2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.
过程性目标
1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；
2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.
教学过程
一、创设情境
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.
问题1 如图是某地一天内的气温变化图.
看图回答：
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；
(2)这一天中，最高气温是5℃.最低气温是－4℃；
(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低.
从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
二、探究归纳
问题2 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：
观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
解 随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加较快.
问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值：
观察上表回答：
(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?
(2)波长l越大，频率f 就________.
解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即
lf＝300 000，
或者说 SKIPIF 1 < 0 .
(2)波长l越大，频率f 就 越小 .
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________.
利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________.
解 S＝πr2.
圆的半径越大，它的面积就越大.
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable).
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称y是x的函数(functin).
表示函数关系的方法通常有三种：
(1)解析法，如问题3中的 SKIPIF 1 < 0 ，问题4中的S＝π r2，这些表达式称为函数的关系式.
(2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表.
(3)图象法，如问题1中的气温曲线.
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(cnstant)，如问题3中的300 000，问题4中的π等.
在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.例如，上述问题4中，自变量r表示圆的半径，不能为负数和零，即它的取值范围为一切正实数.
三、实践应用
例1 下表是某市2012年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?
解 (1)平均身高是155cm；
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.
例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量,指出自变量的取值范围：
(1)圆的周长C与半径r的关系式；
(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式；
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.
解 (1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量，r≥0；
(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量，t≥0；
(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量，n≥3.
四、交流反思
1.函数概念包含：
(1)两个变量；
(2)两个变量之间的对应关系.
2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量.例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量.
3.函数关系三种表示方法：
(1)解析法；
(2)列表法；
(3)图象法.
4. 函数的取值范围：
在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.
五、检测反馈
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.
2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：
(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α ；
(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是：y＝ax.
3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：
(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系；
(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.
4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.
周岁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
体重(kg)
7.9
12.2
15.6
18.4
20.7
23.0
25.6
28.5
31.2
34.0
37.6
41.2
44.9
年龄组(岁)
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
平均身高(cm)
117
121
125
130
135
142
148
155
162
167
170
172
知识技能目标
1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念；
2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.
过程性目标
1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；
2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.
教学过程
一、创设情境
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题.
问题1 如图是某地一天内的气温变化图.
看图回答：
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温.
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
解 (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；
(2)这一天中，最高气温是5℃.最低气温是－4℃；
(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低.
从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
二、探究归纳
问题2 小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：
观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
解 随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加较快.
问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值：
观察上表回答：
(1)波长l和频率f数值之间有什么关系?
(2)波长l越大，频率f 就________.
解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即
lf＝300 000，
或者说 SKIPIF 1 < 0 .
(2)波长l越大，频率f 就 越小 .
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积则S与r之间满足下列关系：S＝_________.
利用这个关系式，试求出半径为1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm时圆的面积，并将结果填入下表：
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________.
解 S＝πr2.
圆的半径越大，它的面积就越大.
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t和气温T，气温T随着时间t的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable).
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量(independent variable)，y是因变量(dependent variable)，此时也称y是x的函数(functin).
表示函数关系的方法通常有三种：
(1)解析法，如问题3中的 SKIPIF 1 < 0 ，问题4中的S＝π r2，这些表达式称为函数的关系式.
(2)列表法，如问题2中的小蕾的体重表，问题3中的波长与频率关系表.
(3)图象法，如问题1中的气温曲线.
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(cnstant)，如问题3中的300 000，问题4中的π等.
在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.例如，上述问题4中，自变量r表示圆的半径，不能为负数和零，即它的取值范围为一切正实数.
三、实践应用
例1 下表是某市2012年统计的中小学男学生各年龄组的平均身高：
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗?
(2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量?
解 (1)平均身高是155cm；
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量.
例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量,指出自变量的取值范围：
(1)圆的周长C与半径r的关系式；
(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s(千米)和所用时间t(时)的关系式；
(3)n边形的内角和S与边数n的关系式.
解 (1)C＝2π r，2π是常量，r、C是变量，r≥0；
(2)s＝60t，60是常量，t、s是变量，t≥0；
(3)S＝(n－2)×180，2、180是常量，n、S是变量，n≥3.
四、交流反思
1.函数概念包含：
(1)两个变量；
(2)两个变量之间的对应关系.
2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量.例如x和y，对于x的每一个值，y都有惟一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量.
3.函数关系三种表示方法：
(1)解析法；
(2)列表法；
(3)图象法.
4. 函数的取值范围：
在研究函数时，必须注意自变量的取值范围.实际问题中，自变量的取值必须符合实际意义.
五、检测反馈
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子.
2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：
(1)三角形的一边长5cm，它的面积S(cm2)与这边上的高h(cm)的关系式是 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α ；
(3)若某种报纸的单价为a元，x表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y(元)与x间的关系是：y＝ax.
3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：
(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y(元)与学生数n(个)的关系；
(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n(个)与单价a(元)的关系.
4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑.若用x表示涂黑的格子横向的乘数，y表示纵向的乘数，试写出y关于x的函数关系式.
周岁
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
体重(kg)
7.9
12.2
15.6
18.4
20.7
23.0
25.6
28.5
31.2
34.0
37.6
41.2
44.9
年龄组(岁)
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
平均身高(cm)
117
121
125
130
135
142
148
155
162
167
170
172
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