甘肃省会宁县第一中学2021届高三上学期第四次月考 数学（理）(含答案) 试卷
展开会宁县第一中学2021届高三上学期第四次月考
数学（理）试题
一、选择题：(每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1．复数的模为 （ ）
A．1 B．2 C． D．
2．下列四个函数，在处取得极值的函数是 （ ）
① ② ③ ④
A．① ② B．② ③ C．③ ④ D．① ③
3．不等式的解集是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)（ ）
A．2020年 B．2021年
C．2022年 D．2023年
5．在公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．为了得到函数的图象，只需把函数，的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
D．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）
7．在中，，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．函数的部分图象如图所示，的值为（ ）
A．0 B． C． D．
11．给定两个单位向量，，且，点在以为圆心的圆弧上运动，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）
13．设集合，，，则实数的取值集合为___________.
14．已知向量、满足，，若，则向量与的夹角为______.
15．若三个关于x的方程，，中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为___________.
16．锐角三角形中，若，则的范围是 ；
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17（本小题满分12分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
（1）若，且，求的坐标；
（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.
18（本小题满分12分）已知函数，满足，
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
19（本小题满分12分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求角的大小；
（2）求的面积．
20（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且（），.
（Ⅰ）判断数列是否是等比数列，并求出数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
21（本小题满分12分）已知函数.
（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求的单调区间；
（3）设函数，求证：当时， 在上存在极小值.
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线（）与直线和曲线分别交于，两点，求的值.
23（本小题满分10分）设函数（）的最小值为1.
（1）求的值；
（2）若（），求证：.
理科参考答案
1．A 2．B 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．D 9．B 10．A 11．B 12．D
二、13．14． 15． 16．(
三、17．【答案】（1）或 （2）
【解析】（1）因为，且，
则，
又，所以，即，
故或；
（2）由，则，
由，解得，
又与不共线，则，解得，
故与的夹角为锐角时，实数的取值范围为：.
18．【答案】（1），（2）最大值为，最小值为
【解析】（1）因为，
所以，解得，
所以
，
所以的最小正周期为，
（2）由，得，
所以，
所以，
所以，
所以在上的最大值为，最小值为
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在中，由正弦定理，得，即.
又因为，所以.
因为为锐角三角形，所以.
（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或.
当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积.
考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．
20．【答案】（Ⅰ）数列不是等比数列. （Ⅱ）
【解析】（Ⅰ）数列不是等比数列.，由（）可知，
当时，，两式相减得，即，所以
由（）得当时，，，
所以数列是从第2项起，以2为公比的等比数列，所以
（Ⅱ），
所以.
21．【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.
【解析】（1）由得.
由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，
即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，
所以实数a的取值范围.
（2）由可得
当时， ，所以函数的增区间为；
当时，若， ，若， ，
所以此时函数的增区间为，减区间为.
（3）由及题设得，
由可得，由（2）可知函数在上递增，
所以，取，显然，
，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+∞）上的情况如下：
－ 0 +
↘ 极小 ↗
所以当-1<a<0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值.
22．【答案】（1）（），；（2）.
【解析】（1）由得，
将（为参数）消去参数，
得直线的普通方程为（）.
由得，
将，代入上式，
得，
所以曲线的直角坐标方程为.
（2）由（1）可知直线的普通方程为（），
化为极坐标方程得（），
当（）时，设，两点的极坐标分别为，，
则，，
所以.
23．【答案】（1）2；（2）见解析.
【解析】（1）由，可得，则，
，；
（2）由（1）可知，，
（当且仅当时等号成立），
，故.
