湖北省六校2021届高三11月联考 数学(含答案) 试卷
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数学试卷
考试时间：120分 试卷满分：150分
一、单项选择题：本题8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则集合的子集的个数为( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
2.复数对应的向量与共线，且对应的点在第三象限，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，集合若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.若，则（ ）
A. B. C. D.
5.设函数为奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
6.“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽. 2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为( )
A. 猴 B. 马 C. 羊 D. 鸡
7.在中, 为边上的两个动点，且满足，则( )
A. 有最小值4 B. 有最大值4 C. 有最小值2 D. 有最大值2
8.已知函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是( )
A． B． C. D．
二、多项选择题：本题4个小题，每小题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9.已知复数 (其中为虚数单位)下列说法正确的是( )
A.复数在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．可能为实数
C．
D．的虚部为
10.已知函数的图像的一个对称中心为其中则以下结论正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.将函数的图像向左平移所得图像关于原点对称
C.函数在区间上单调递增
D.函数在区间上有6个零点
11.若为正实数，且，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
12.设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数,下列说法正确的是( )
A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列
B．已知，则是间隔递增数列
C．已知则是间隔递增数列且最小间隔数是2
D. 已知则是间隔递增数列且最小间隔数是3,则.
三、填空题：本题4个小题，每题5分，共20分。
13.已知向量,若，则的值为__________.
14.己知函数，若，且，则的取值范围是____________．
15.设是等差数列的前项和,若,则______________.
16.已知函数，若直线与函数的图象均相切，则的值为___________;若总存在直线与函数图象均相切，则的取值范围是____________.
四、解答题：本题6个小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
在①为等比数列，,②为等差数列，,③为等比数列，。这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答。
已知数列满足,数列满足____________,为数列的前项和,是否存在正整数,使得成立?若存在,求出的最小值；若不存在,请说明理由
18.（本小题满分12分）
锐角中，分别为角所对的边，且.
（1）求角.
（2）若 ，求的最大值.
19.（本小题满分12分）
已知数列的前项和为，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若，求数列的前项的和.
20.（本小题满分12分）
一经济作物示范园的平面图如图所示，半圆的直径，点在的延长线上，，点为半圆上异于两点的一个动点，以点为直角顶点作等腰直角，且点与圆心分布在的两侧，设．
（1）把线段的长表示为的函数；
（2）现要在和内分别种植甲、乙两种经济作物。这两种作物单位面积的收益比为，求为何值时，收益最大？
21.（本小题满分12分）
对于函数，若在定义域内存在实数，满足，其中为整数，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”．
（1）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（2）若，对任意的实数，恒为R上的“阶局部奇函数”，求整数的最大值.
22.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的最大值；
（2）设函数，若对任意实数，当时，函数的最大值为，求的取值范围；
（3）若数列的各项均为正数，．求证：.
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数 学 答 案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | S | A | C | D | B | C | B | BC | AC | BD | BCD |
13．- 3 14． 15． 16．
17．解：由可得,,
两式相减可得,, 所以,
当时,由可得,,满足, 所以,
若选①可得,所以,此时,
可得, ,可得,
所以存在最小值为.
若选②,可得，所以，此时
可得，，所以存在最小值为10
若选③,可得，所以，此时
所以
那么
两式相减得，所以不存在整数k
18．（1）边化角得
可得，因为B为锐角，所以
（2）由可得，
（其中，）
，的最大值为
19．（1）对任意的，，则且，
所以，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，.
当时，，也适合上式，
所以，.
所以
20．（1）依题设易知为以为直角的直角三角形，又已知， ，
所以.
在中，由余弦定理得，
.
所以， 定义域为.
（2）
设甲、乙单位面积的收益分别为4k、3k，总收益为y那么
（）
所以，当时，总收益最大
21．（1）要满足，所以.
因为是上的“1阶局部奇函数”，等价于关于x的方程
在有解，即，
化简得：，
所以，又，所以.
（2）因为恒为R上的“k阶局部奇函数”等价于关于x的方程恒有解.
即，化简得：
当时，解得，所以满足题意；
当时，，即：对任意的实数恒成立，
即对任意的实数成立，
令，是关于t的一次函数且为上的增函数
则，即： ，解得：，
综上所述，整数的最大值为0
22．（1）的定义域为，
当时，单调递增；
当时，单调递减，
所以
（2）由题意
①当时，函数在上单调递增，在上单调递减，此时，不存在实数，使得当时，函数的最大值为.
②当时，令，有
（i）当时，函数在上单调递增，显然符合题意.
（ii）当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且，
要使对任意实数，当时，函数的最大值为，只需，解得，又所以此时实数的取值范围是.
（iii）当即时，函数在和上单调递增，在上单调递减，要对任意实数，当时，函数的最大值为需代入化简和，①
令，
因为恒成立，
故恒有，所以时，①式恒成立，
综上，实数的取值范围是.
（3）由题意，正项数列满足：
由（1）知：，即有不等式
由已知条件知
故
从而当时，
所以有，对也成立，
所以有
