河北省唐山一中2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)

唐山一中2020—2021学年度第一学期期中考试

高三年级  数学试卷

说明：

1.考试时间120分钟，满分150分。2.将卷Ⅰ答案用2B铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案用黑色字迹的签字笔书写在答题卡上。

卷Ⅰ(选择题  共60分)

一．选择题（共8小题，每小题5 分，计40分。在每小题给出的四个选项中，只有1 个选项符合题意）

1．复数的共轭复数为                                                （    ）

A.           B.          C.          D.

2．已知集合，集合，则（    ）

A.     B.       C.      D.

3．已知数列满足,,则“”是“任意,都有”的（　　）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．高一（1）班某组有5人，组长安排值日生，其中1人负责擦黑板，2人负责教室内地面卫生，2人负责卫生区卫生，则不同的安排方法有                          （    ）

A．20种           B．30种            C．90种           D．120种

5．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ）

A．      B．       C．      D．

6．函数在上的图象大致为                  （    ）

A.     B.    C.     D.

7．已知是可导的函数，且，对于恒成立，则下列不等关系正确的是                                                                （    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

8．如图1，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O．点E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥P﹣ABCD（如图2）．当四棱锥P﹣ABCD的侧面积是底面积的2倍时，异面直线PB与CD所成角的余弦值为（   ）                                                                                                                                           

A． B． C． D．

二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9.设是等差数列,为其前项和,且,,则下列结论正确的是（  ）

A.       B.        C.        D. 、均为的最大值

10．已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上一点且，若，则对双曲线中的有关结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

11．在△中，已知，且，则  （    ）

A.成等比数列               B.            

C.若，则        D.成等差数列

12．已知，下面结论正确的是               （    ）

A．若f(x1)=1，f(x2)=－1，且的最小值为π，则ω=2

B．存在ω∈(1，3)，使得f(x)的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称

C．若f(x)在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围是

D．若f(x)在上单调递增，则ω的取值范围是(0，]

卷Ⅱ(非选择题  共90分)

三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝2，AC＝，∠BAC＝30°，AA1＝，则其外接球体积是       ．

14．在的展开式中，的系数是       （用数字作答）．

15．已知水平地面上有一半径为4的球，球心为O＇，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，OE=3．若光线与地面所成角为θ，则sinθ=__________________，椭圆的离心率e=_____________________．（本题第一空2分，第二空3分）

16. 已知函数，，且，则关于x的方程实根个数的判断正确的是_________.

   ①当t＜﹣2时，方程没有相异实根

   ②当＜t＜0或t＝﹣2时，方程有1个相异实根

   ③当1＜t＜时，方程有2个相异实根

   ④当﹣1＜t＜或0＜t≤1或t＝时,方程有4个相异实根

四、解答题（本题共6小题，共70分）

17.（本小题满分10分）

在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知的内角，，所对的边分别是，，，若______.

（1）求角；

（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积.

18.（本小题满分12分）

设数列的前项和为，已知，，成等差数列，且.

（1）求的通项公式；

（2）若＝，的前项和为，求使成立的最大正整数的值.

19.（本小题满分12分）

2020年1月10日，引发新冠肺炎疫情的COVID－19病毒基因序列公布后，科学家们便开始了病毒疫苗的研究过程但是类似这种病毒疫苗的研制需要科学的流程，不是一朝一夕能完成的，其中有一步就是做动物试验. 已知一个科研团队用小白鼠做接种试验，检测接种疫苗后是否出现抗体. 试验设计是：每天接种一次，3天为一个接种周期. 已知小白鼠接种后当天出现抗体的概率为，假设每次接种后当天是否出现抗体与上次接种无关.

（1）求一个接种周期内出现抗体次数k的分布列.

（2）已知每天接种一次花费100元，现有以下两种试验方案：

①若在一个接种周期内连续2次出现抗体即终止本周期试验，进行下一接种周期，试验持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为X元；

②若在一个接种周期内出现2次或3次抗体，该周期结束后终止试验，已知试验至多持续三个接种周期，设此种试验方式的花费为Y元.

比较随机变量X和Y的数学期望的大小.

20.（本小题满分12分）

如图所示，圆锥的底面半径为2，其侧面积是底面积的2倍，线段为圆锥底面的直径，在底面内以线段为直径作，点P为上异于点A，O的动点.

（1）证明：平面平面；

（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝mx－xlnx(x>1).

（1）讨论f(x)的极值；

（2）若m为正整数，且f(x)<2x＋m恒成立，求m的最大值.(参考数据：ln4≈1.39，ln5≈1.61)

22.（本小题满分12分）

已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，直线l与椭圆C交于M，N两点。

（1）点P的坐标为(1，)，若，求直线l的方程；

（2）若直线l过椭圆C的右焦点F，且点M在第一象限，求(kMA，kNB分别为直线MA，NB的斜率)的取值范围.

唐山一中2020—2021学年度第一学期期中考试

高三年级  数学试卷答案

一、选择题：1-4：BCBB；   5-8：CACA

二、选择题：9、ABD；10、ABCD；11、BC；12、BCD

三、填空题：13、；14、10；15、；16、①②.

四、解答题

17.【解析】

（1）选①，由正弦定理得，

∵，∴，即，

∵，∴，

∴，∴.    ··········································5分

选②，∵，，

由正弦定理可得，

∵，∴，

∵，∴.      ·················································5分

选③，∵，

由已知结合正弦定理可得，

∴，∴，

∵，∴.     ·················································5分

（2）∵，即，

∴，解得，当且仅当时取等号，

∴，周长的最小值为6，此时的面积. ··········10分

18.

19.

20.【解析】（1）证明：∵垂直于圆锥的底面，圆锥的底面，∴，

∵为的直径，∴，面，，∴平面，

∵平面，∴平面平面.  ············································5分

（2）解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，

∴圆锥的侧面积，底面积，

∴依题意，∴，∵，∴，············6分

则在中，，∴，如图，

在底面作的半径，使得，∵，，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，， ···········7分

在中，∵，∴面积最大时，三棱锥的体积最大，此时，·······8分

∵的半径为1，∴，，，，

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，取，得，·····················10分

设二面角的平面角为，由图得为钝角，

∴，∴二面角的余弦值.··········· ·12分

21.

22.