甘肃省兰州市第一中学2021届高三上学期期中考试 数学（文）(含答案)

兰州一中2020-2021-1学期期中考试试题

高三数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，

考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.函数f (x)＝的定义域为                               

A.(0,2)            B.(0,2]               C.           D.

2.已知幂函数f (x)的图象经过(9，3)，则＝                      

A.3               B.               C.              D.1

3.某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为n的样本，其中高中生有24人，那么n等于

A.12   B.18   C.24    D.36

4.设f(x)＝ex＋x－4，则函数f(x)的零点位于区间

A.(－1，0)   B.(0，1)         C.(1，2)          D.(2，3)

5.已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是

A.[1，＋∞)   B.(－∞，1]           C.[－1，＋∞)       D.(－∞，－3]

6.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m的值为

A.8   B.12         C.6           D.4

7.不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的

8.函数y＝2|x|·sin 2x的图象可能是

9.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为

A.                 B.                C.2              D.2

10.如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)

在[－2，0]上的最大值与最小值之和为

A.2    B.4                C.3                  D.－1

11.设四边形ABCD为平行四边形，，,若点M，N满足，，

则等于

A.20    B.9               C.15                   D.6

12.定义在(0，＋∞)上的单调递减函数f(x)，若f(x)的导函数存在且满足，则下列不等式

成立的是

A.3f(2)＜2f(3)    B.3f(4)＜4f(3)                C.2f(3)＜3f(4)     D.f(2)＜2f(1)

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知复数z＝－2i，则复数虚部为_________.

14.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_________.

15.在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则

|＋＋|的最大值是________.

16.关于函数f(x)＝2(sinx－cos x)cos x有以下四个结论：

①函数f(x)的最大值为；

②把函数h(x)＝sin2x－1的图象向右平移个单位可得到函数f(x)的图象；

③函数f(x)在区间上单调递增；

④函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．其中正确的结论是___________.  

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(一)必考题：共60分

17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，，分别为的中点.

(1)证明:

(2)设为的中点 ,求三棱锥的体积.

18.（本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，

且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.

(1)求角A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状.

19.（本小题满分12分）兰州市为争创文明城市，面向全市征召宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，

第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1) 若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加

广场的宣传活动，应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？

(2)  在(1)的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者

介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，A，B是椭圆C上两点，

N(3，1)是线段AB的中点.

(1)求直线AB的方程；

(2)若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.

21.（本小题满分12分） 已知f(x)＝ax2 (a∈R)，g(x)＝2ln x.

(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；

(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等的解，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分

请考生在第22-23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为 (t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.

(1)求直线及圆的直角坐标方程；

(2)设圆与直线交于点.若点的坐标为(3，)，求.

23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.

兰州一中2020-2021-1学期期中考试答案

高三数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，

考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1.A  2.C  3.D  4.C  5.A  6.A  7.C  8.D  9.A  10.B  11.B  12.A

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 　;  14. ;  15. 1＋;  16.  ③④

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且，，分别为的中点.

(1)证明:

(2)设为的中点 ,求三棱锥的体积.

解：（1）因为分别是的中点，所以是的中位线，所以

又因为平面，平面,所以平面..................6分

（2）因为高，，..................12分

18. （本小题满分12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.

(1)求角A的大小；

(2)若sin B＋sin C＝，试判断△ABC的形状.

解　(1)由2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C，

得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，

∴cos A＝＝，∵0°＜A＜180°，∴A＝60°...................6分

(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.

由sin B＋sin C＝，得sin B＋sin(120°－B)＝，

∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝.

∴sin B＋cos B＝，即sin(B＋30°)＝1.

∵0°<B<120°，∴30°<B＋30°<150°.∴B＋30°＝90°，

B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，△ABC为等边三角形...................12分

19．（本小题满分12分）兰州市为争创文明城市，面向全市征召宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.

(1) 若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加

广场的宣传活动，应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？

(3)  在(1)的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者

介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.

解：(1)第3组的人数为0.06×5×100＝30，

第4组的人数为0.04×5×100＝20，

第5组的人数为0.02×5×100＝10，

∵第3，4，5组共有60名志愿者，

∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：

第3组：×6＝3；

第4组：×6＝2；

第5组：×6＝1；

即应从第3，4，5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者.

(2)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：

(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，

(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，

(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，

(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15种.

其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有一名志愿者被抽中的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9种，∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为＝.

20．（本小题12分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，A，B是椭圆C上两点，N(3，1)是线段AB的中点.

(1)求直线AB的方程；

(2)若以AB为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.

解：(1)离心率e＝，设椭圆C：x2＋3y2＝a2(a＞0)，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意，设直线AB的方程为y＝k(x－3)＋1，代入x2＋3y2＝a2，

整理得(3k2＋1)x2－6k(3k－1)x＋3(3k－1)2－a2＝0.①

Δ＝4[a2(3k2＋1)－3(3k－1)2]＞0，②且x1＋x2＝，

由N(3，1)是线段AB的中点，得＝3.

解得k＝－1，代入②得a2＞12，直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.

(2)圆心N(3，1)到直线的距离,.

当时方程①即

，解得.

椭圆方程为.

21. （本小题满分12分） 已知f(x)＝ax2 (a∈R)，g(x)＝2ln x.

(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；

(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[，e]上有两个不等解，求a的取值范围.

解　(1)F(x)＝ax2－2ln x，其定义域为(0，＋∞)，

∴F′(x)＝2ax－＝ (x>0).                                                ...............2分

①当a>0时，由ax2－1>0，得x>.

由ax2－1<0，得0<x<.

故当a>0时，F(x)在区间上单调递增，                    ...............4分

在区间上单调递减.

②当a≤0时，F′(x)<0 (x>0)恒成立.

故当a≤0时，F(x)在(0，＋∞)上单调递减.    ..............6分

(2)原式等价于方程a＝＝φ(x)在区间[，e]上有两个不等解.

由φ′(x)＝易知，

φ(x)在(，)上为增函数，

在(，e)上为减函数，

则φ(x)max＝φ()＝，

而φ(e)＝<＝＝φ().

所以φ(x)min＝φ(e)，

如图可知φ(x)＝a有两个不等解时，需≤a＜.

即f(x)＝g(x).在[，e]上有两个不等解时a的取值范围为≤a＜.              ...............12分

22.（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为 (t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.

(1)求直线及圆的直角坐标方程；

(2)设圆与直线交于点.若点的坐标为(3，)，求.

解：(1) 直线的直角坐标方程为

圆的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝5.    ……………5分

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，

得(3－t)2＋(t)2＝5，即t2－3t＋4＝0.

由于Δ＝(3)2－4×4＝2>0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，

所以又直线l过点P(3，)，

故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.  ………10分

23.（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.

解：（Ⅰ）原不等式等价于

或

解之得.

即不等式的解集为.                            ...............5分

（Ⅱ）.

，解此不等式得.         ...............10分