甘肃省天水一中2021届高三上学期第二次考试 数学（理）（含答案）
展开天水市一中2018级2020--2021学年度第二次考试试题
数学（理）
一、单选题（每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则的子集共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．在等差数列中，若，则（ ）
A．15 B．10 C．5 D．1
4．已知，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．
5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为（ ）
A．63 B．108 C．75 D．83
7．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象的一个对称中心为
C．函数的图象的一条对称轴方程为
D．函数的图象可以由函数的图象向右平移个单位长度得到
8．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，（b+c+a）（b+c-a）=3bc，则△ABC 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
9．已知正项等比数列中，若存在两项、，使，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10. 已知点在曲线：上，则的最大值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．
11．已知函数定义域为，且满足下列三个条件：①任意，都有；②；③为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
12． 已知函数，其中，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若复数，则________.
14．已知实数x，y满足，则的最大值为________．
15．已知等差数列前项和，且，若，则的值为________
16．如图，在中，点在线段上，且，，则的面积的最大值为______.
三、解答题（第17题10分；第18--22题各小题12分，共70分）
17．已知命题：，.
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）命题：，，当为真命题且为假命题时，求实数的取值范围.
18．已知在等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式，写出它的前项和；
（2）若，求数列的前项和.
19．设函数.
(1)求函数的最小正周期T和单调递减区间;
(2)在锐角中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且,求的取值范围.
20．在中，角、、所对的边长是、、，向量，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的最大值.
21．若数列的前项和为，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
22．已知函数
（1）若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围；
（2）若，函数在处取得极小值，证明：.
参考答案
1．B 2．B 3．C 4．A 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 10．C
11．B 12．C
13． 14．1 15．1010 16．
17．（1）；（2）或.
【详解】
（1），
且，解得：
为真命题时，
（2），，有解
时，
当时，命题为真命题
为真命题且为假命题 真假或假真
当真假时，有，解得：；
当假真时，有，解得：；
为真命题且为假命题时，或
18．（1），；（2）
【详解】
（1）设，由题意得，，，，
所以，．
（2）
．
19．(1),;(2).
【详解】
(1)
函数的最小正周期,
令,,
得,,
从而函数的单调递减区间为;
(2)在锐角中,由知,,
则得,
从而,
故的取值范围为.
20．（1）；（2）.
【详解】
（1）且，，
由余弦定理得，
，因此，；
（2）由，及余弦定理得，
即，
，，当且仅当时，等号成立，
因此，的周长的最大值为.
21．（1）；（2）.
【详解】
（1）当时，，
当时，，，两式相减得，
即，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
（2）由（1）得，所以
，，
两式相减得
.
所以
22．（1），（2）见解析
【详解】
解：（1）因为函数在区间上单调递增，所以≥0在上恒成立，
即≥0，
因为，所以≤在上恒成立，
令，，则，
所以在上递减，所以
所以当≤0时，在区间上单调递增，
所以a的取值范围，
（2）因为函数在处取得极小值，所以，即，
得，所以
的定义域为，
因为，所以，
设的两个根为，
解得，
由，得，
所以当时，；当时，
又因为在处取得极小值，所以，
要证，只需证明成立即可，
令，则，
所以在上为减函数，
所以，
所以
