数学七年级下册9.2 分式的运算教学设计

这是一份数学七年级下册9.2 分式的运算教学设计，共4页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。

1．分式的乘除





1．理解并掌握分式的乘除法运算法则，能运用其进行运算并解决实际问题；(重点)


2．理解并掌握分式的乘方运算法则，分清乘方、乘除的运算顺序，能够解决分式的乘除、乘方的混合运算．(重点、难点)





一、情境导入


观察下列运算：


eq \f(2,3)×eq \f(4,5)＝eq \f(2×4,3×5)，eq \f(5,7)×eq \f(2,9)＝eq \f(5×2,7×9)，


eq \f(2,3)÷eq \f(4,5)＝eq \f(2,3)×eq \f(5,4)＝eq \f(2×5,3×4)，eq \f(5,7)÷eq \f(2,9)＝eq \f(5,7)×eq \f(9,2)＝eq \f(5×9,7×2).


以上是以前学习的分数的乘法与除法，分数乘法与除法的运算法则分别是什么？


今天我们仿照分数的乘除来研究分式的乘除．


二、合作探究


探究点一：分式的乘除


【类型一】 利用分式的乘法法则进行计算


计算：


(1)eq \f(ab2,2c2)·eq \f(4cd,－3a2b2)；


(2)eq \f(x2＋3x,x2－9)·eq \f(3－x,x＋2).


解析：找出公因式，然后进行约分，约分时能分解因式的先分解因式．


解：(1)eq \f(ab2,2c2)·eq \f(4cd,－3a2b2)＝－eq \f(ab2·4cd,2c2·3a2b2)＝－eq \f(4ab2cd,6a2b2c2)＝－eq \f(2d,3ac)；


(2)eq \f(x2＋3x,x2－9)·eq \f(3－x,x＋2)＝eq \f(x（x＋3）,（x＋3）（x－3）)·eq \f(3－x,x＋2)＝eq \f(x,x－3)·eq \f(－（x－3）,x＋2)＝－eq \f(x,x＋2).


方法总结：分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母”进行运算，其运算步骤为：(1)符号运算；(2)按分式的乘法法则运算；(3)各分式中的分子、分母都是多项式时，先因式分解，再约分．


【类型二】 利用分式的除法法则进行计算


计算：


(1)－3xy÷eq \f(2y2,3x)； (2)(xy－x2)÷eq \f(x－y,xy).


解析：先将除法变为乘法，再利用分式的乘法法则进行运算，做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，再约分．


解：(1)－3xy÷eq \f(2y2,3x)＝－3xy·eq \f(3x,2y2)＝－eq \f(9x2,2y)；


(2)(xy－x2)÷eq \f(x－y,xy)＝(xy－x2)·eq \f(xy,x－y)＝－x(x－y)·eq \f(xy,x－y)＝－x2y.


方法总结：确定商的符号，再把除式的分子、分母的位置颠倒与被除式相乘．


【类型三】 分式的乘除混合运算


计算：eq \f(a－1,a＋2)·eq \f(a2－4,a2－2a＋1)÷eq \f(1,a2－1).


解析：先将除法变为乘法，再根据分式的乘法运算法则进行运算．


解：原式＝eq \f(a－1,a＋2)·eq \f(（a＋2）（a－2）,（a－1）2)·eq \f(（a＋1）（a－1）,1)＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.


方法总结：分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法则把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．


【类型四】 分式的化简求值


先化简，再求值：


(1)eq \f(3x＋3y,2x2y)·eq \f(4xy2,x2－y2)，其中x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,3)；


(2)eq \f(x2－x,x＋1)÷eq \f(x,x＋1)，其中x＝eq \r(3)＋1.


解析：(1)利用分式的乘法法则进行计算化简．(2)将除法转化为乘法后约分化简，然后代入求值．


解：(1)原式＝eq \f(3（x＋y）,2xy·x)·eq \f(2xy·2y,（x＋y）（x－y）)＝eq \f(6y,x（x－y）)，当x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,3)时，原式＝24；


(2)原式＝eq \f(x2－x,x＋1)·eq \f(x＋1,x)＝eq \f(x（x－1）,x＋1)·eq \f(x＋1,x)＝x－1，当x＝eq \r(3)＋1时，原式＝eq \r(3).


方法总结：根据分式乘除法法则将代数式进行计算化简，再代入求值．


探究点二：分式的乘方


【类型一】 分式的乘方运算


下列运算结果不正确的是( )


A．(eq \f(8a2bx2,6ab2x))2＝(eq \f(4ax,3b))2＝eq \f(16a2x2,9b2)


B．[－(eq \f(x3,2y))2]3＝－(eq \f(x3,2y))6＝－eq \f(x18,64y6)


C．[eq \f(y－x,（x－y）2)]3＝(eq \f(1,y－x))3＝eq \f(1,（y－x）3)


D．(－eq \f(xn,y2n))n＝eq \f(x2n,y3n)


解析：A、B、C计算都正确；D中(－eq \f(xn,y2n))n＝(－1)neq \f(xn2,y2n2)，原题计算错误．故选D.


方法总结：分式的乘方就是分子、分母分别乘方，最后化为最简分式．








【类型二】 分式的乘除、乘方混合运算


计算：


(1)(－eq \f(x2,y))2·(－eq \f(y2,x))3·(－eq \f(1,x))4；


(2)eq \f(（2－x）（4－x）,x2－16)÷(eq \f(x－2,4－3x))2·eq \f(x2＋2x－8,（x－3）（3x－4）).


解析：(1)先算乘方，然后约分化简，注意符号；(2)先算乘方，再将除法转换为乘法，把分子、分母分解因式，再进行约分化简．


解：(1)原式＝eq \f(x4,y2)·(－eq \f(y6,x3))·eq \f(1,x4)＝－eq \f(y4,x3)；


(2)原式＝eq \f(（x－2）（x－4）,（x＋4）（x－4）)·eq \f(（3x－4）2,（x－2）2)·eq \f(（x－2）（x＋4）,（x－3）（3x－4）)＝eq \f(3x－4,x－3).


方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式．


三、板书设计


1．分式的乘除法则


两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母．两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．


2．分式的乘方法则


分式的乘方就是把分子、分母分别乘方．即(eq \f(a,b))n＝(ab－1)n＝an·b－n＝eq \f(an,bn).





本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法则．采用这种温故知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程．通过回忆乘法的定义，结合分式的乘除法进行练习，这样不仅加深了学生对知识的理解和记忆，而且锻炼了他们的数学表达能力，为以后的学习打下基础