初中数学9.2 分式的运算第3课时教学设计

这是一份初中数学9.2 分式的运算第3课时教学设计，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。




1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算；(重点)


2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点)





一、情境导入


提出问题：


1.说出有理数混合运算的顺序．


2.类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？


今天我们共同探究分式的混合运算．


二、合作探究


探究点：分式的混合运算


【类型一】 分式的混合运算


计算：


(1)(eq \f(3a,a－3)－eq \f(a,a＋3))·eq \f(a2－9,a)；


(2)(x＋eq \f(x,x2－1))÷(2＋eq \f(1,x－1)－eq \f(1,x＋1))．


解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．


解：(1)原式＝eq \f(3a2＋9a－a2＋3a,（a＋3）（a－3）)·eq \f(（a＋3）（a－3）,a)＝2a＋12；


(2)原式＝eq \f(x3,（x＋1）（x－1）)÷eq \f(2x2－2＋x＋1－x＋1,（x＋1）（x－1）)＝eq \f(x3,（x＋1）（x－1）)·eq \f(（x＋1）（x－1）,2x2)＝eq \f(x,2).


方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．


【类型二】 分式的化简求值


先化简代数式eq \f(x2－2x＋1,x2－1)÷(1－eq \f(3,x＋1))，再从－4＜x＜4的范围内选取一个合适的整数x代入求值．


解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x的取值范围内选取一数值代入即可．


解：原式＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)÷(eq \f(x＋1,x＋1)－eq \f(3,x＋1))＝eq \f(（x－1）2,（x＋1）（x－1）)×eq \f(x＋1,x－2)＝eq \f(x－1,x－2)，令x＝0(x≠±1且x≠2)，得原式＝eq \f(1,2).


方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.


【类型三】 利用公式变形对分式进行化简


已知a＋eq \f(1,a)＝5，求eq \f(a2,a4＋a2＋1)的值．


解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显然现在解不出a的值，如果将eq \f(a2,a4＋a2＋1)的分子、分母颠倒过来，即求eq \f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq \f(1,a2)的值，再利用公式变形求值就简单多了．


解：因为a＋eq \f(1,a)＝5，所以(a＋eq \f(1,a))2＝25，即a2＋eq \f(1,a2)＝23，所以eq \f(a4＋a2＋1,a2)＝a2＋1＋eq \f(1,a2)＝23＋1＝24.所以eq \f(a2,a4＋a2＋1)＝eq \f(1,24).


方法总结：利用x和eq \f(1,x)互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．


变式【类型四】 分式混合运算的应用


甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克(a、b为正整数且a≠b)．


(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？


(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．


解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．


解：(1)甲的平均价格为eq \f(20a＋20b,20＋20)＝eq \f(a＋b,2)；乙的平均价格为eq \f(20＋20,\f(20,a)＋\f(20,b))＝eq \f(2ab,a＋b)；


(2)甲的平均价格与乙的平均价格的差为eq \f(a＋b,2)－eq \f(2ab,a＋b)＝eq \f(（a＋b）2,2（a＋b）)－eq \f(4ab,2（a＋b）)＝eq \f(（a－b）2,2（a＋b）)，∵a≠b，∴eq \f(（a－b）2,2（a＋b）)＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．


方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．


三、板书设计


1．分式的混合运算


先乘方，再乘除，后加减．如果有括号，先进行括号里面的运算．


2．分式混合运算的应用











在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率