北师大版九年级下册5 三角函数的应用教案设计

这是一份北师大版九年级下册5 三角函数的应用教案设计，共5页。

教学目标


(一)教学知识点


1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.


2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明.


(二)能力训练要求


发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.


(三)情感与价值观要求


1.在经历弄清实际问题题意的过程中，画出示意图，培养独立思考问题的习惯和克服困难的勇气.


2.选择生活中学生感兴趣的题材，使学生能积极参与数学活动，提高学习数学、学好数学的欲望.


教具重点


1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.


2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力.


教学难点


根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图.


教学方法


探索——发现法


教具准备


多媒体演示


教学过程


Ⅰ.创设问题情境，引入新课


[师]直角三角形就像一个万花筒，为我们展现出了一个色彩斑澜的世界.我们在欣赏了它神秘的“勾股”、知道了它的边的关系后，接着又为我们展现了在它的世界中的边角关系，它使我们现实生活中不可能实现的问题，都可迎刃而解.它在航海、工程等测量问题中有着广泛应用，例如测旗杆的高度、树的高度、塔高等.


下面我们就来看一个问题(多媒体演示).


海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.


下面就请同学们用锐角三角函数知识解决此问题.(板书：船有触礁的危险吗)


Ⅱ.讲授新课


[师]我们注意到题中有很多方位，在平面图形中，方位是如何规定的?


[生]应该是“上北下南，左西右东”.


[师]请同学们根据题意在练习本上画出示意图，然后说明你是怎样画出来的.


[生]首先我们可将小岛A确定，货轮B在小岛A的南偏西55°的B处，C在B的正东方，且在A南偏东25°处.示意图如下.





[师]货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定?


[生]根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险，如果小于10海里则有触礁的危险.A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，计算出AD的长度，然后与10海里比较.


[师]这位同学分析得很好，能将实际问题清晰条理地转化成数学问题.下面我们就来看AD如何求.根据题意，有哪些已知条件呢?


[生]已知BC°＝20海里，∠BAD＝55°，∠CAD＝25°.


[师]在示意图中，有两个直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD.你能在哪一个三角形中求出AD呢?


[生]在Rt△ACD中，只知道∠CAD=25°，不能求AD.


[生]在Rt△ABD中，知道∠BAD=55°，虽然知道BC＝20海里，但它不是Rt△ABD的边，也不能求出AD.


[师]那该如何是好?是不是可以将它们结合起来，站在一个更高的角度考虑?


[生]我发现这两个三角形有联系，AD是它们的公共直角边.而且BC是这两个直角三角形BD与CD的差，即BC＝BD-CD.BD、CD的对角是已知的，BD、CD和边AD都有联系.


[师]有何联系呢?


[生]在Rt△ABD中，tan55°＝ SKIPIF 1 < 0 ，BD=ADtan55°；在Rt△ACD中，tan25°＝ SKIPIF 1 < 0 ，CD＝ADtan25°.


[生]利用BC＝BD-CD就可以列出关于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°＝20.


[师]太棒了!没想到方程在这个地方帮了我们的忙.其实，在解决数学问题时，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.


下面我们一起完整地将这个题做完.


[师生共析]解：过A作BC的垂线，交BC于点D.得到Rt△ABD和Rt△ACD，从而BD=AD


tan55°，CD＝ADtan25°，由BD-CD＝BC，又BC＝20海里.得


ADtan55°-ADtan25°＝20.


AD(tan55°-tan25°)＝20，


AD= SKIPIF 1 < 0 ≈20.79(海里).


这样AD≈20.79海里>10海里，所以货轮没有触礁的危险.


[师]接下来，我们再来研究一个问题.还记得本章开头小明要测塔的高度吗?现在我们来看他是怎样测的，并根据他得到的数据帮他求出塔的高度.





多媒体演示


想一想你会更聪明：


如图，小明想测量塔


CD的高度.他在A处


仰望塔顶，测得仰角


为30°，再往塔的方


向前进50m至B处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)


[师]我想请一位同学告诉我什么是仰角?在这个图中，30°的仰角、60°的仰角分别指哪两个角?


[生]当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角.30°的仰角指∠DAC，60°的仰角指∠DBC.


[师]很好!请同学们独立思考解决这个问题的思路，然后回答.


(教师留给学生充分的思考时间，感觉有困难的学生可给以指导)


[生]首先，我们可以注意到CD是两个直角三角形Rt△ADC和Rt△BDC的公共边，在Rt△ADC中，tan30°= SKIPIF 1 < 0 ，


即AC＝ SKIPIF 1 < 0 在Rt△BDC中，tan60°= SKIPIF 1 < 0 ,


即BC＝ SKIPIF 1 < 0 ，又∵AB=AC-BC＝50 m，得


SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 =50.


解得CD≈43(m)，


即塔CD的高度约为43 m.


[生]我有一个问题，小明在测角时，小明本身有一个高度，因此在测量CD的高度时应考虑小明的身高.


[师]这位同学能根据实际大胆地提出质疑，很值得赞赏.在实际测量时.的确应该考虑小明的身高，更准确一点应考虑小明在测量时，眼睛离地面的距离.





如果设小明测量时，眼睛离地面的距离为1.6 m，其他数据不变，此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?


[生]示意图如


右图所示，由前面的


解答过程可知CC′≈


43 m，则CD＝43+


1.6＝44.6 m.即考虑小明的高度，塔的高度为44.6 m.





[师]同学们的表现太棒了.现在我手里有一个楼梯改造工程问题，想请同学们帮忙解决一下.


多媒体演示：


某商场准备改善原来


楼梯的安全性能，把


倾角由40°减至35°，


已知原楼梯长为4 m，


调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)





请同学们根据题意，画出示意图，将这个实际问题转化成数学问题，(先独立完成，然后相互交流，讨论各自的想法)


[生]在这个问题


中，要注意调整前后


的梯楼的高度是一个


不变量.根据题意可


画㈩示意图(如右


图).其中AB表示楼梯的高度.AC是原楼梯的长，BC是原楼梯的占地长度；AD是调整后的楼梯的长度，DB是调整后的楼梯的占地长度.∠ACB是原楼梯的倾角，∠ADB是调整后的楼梯的倾角.转化为数学问题即为：


如图，AB⊥DB，∠ACB＝40°，∠ADB＝35°，AC＝4m.求AD-AC及DC的长度.


[师]这位同学把这个实际楼梯调整问题转化成了数学问题.大家从示意图中不难看出这个问题是前面问题的变式.我相信同学们一定能用计算器辅助很快地解决它，开始吧!


[生]解：由条件可知，在Rt△ABC中,sin40°＝ SKIPIF 1 < 0 ，即AB＝4sin40°m，原楼梯占地


长BC＝4cs40°m.


调整后,在Rt△ADB中，sin35°＝ SKIPIF 1 < 0 ，则AD＝ SKIPIF 1 < 0 m.楼梯占地长


DB= SKIPIF 1 < 0 m.


∴调整后楼梯加长AD-AC＝ SKIPIF 1 < 0 -4≈0.48(m)，楼梯比原来多占DC＝DB-BC= SKIPIF 1 < 0 -4cs40°≈0.61(m).





Ⅲ.随堂练习


1.如图，一灯柱AB被


一钢缆CD固定，CD与地面


成40°夹角，且DB＝5 m，


现再在C点上方2m处加固


另一条钢缆ED，那么钢缆


ED的长度为多少?


解：在Rt△CBD中，∠CDB=40°，DB=5 m，sin40°= SKIPIF 1 < 0 ，BC=DBsin40°=5sin40°(m).


在Rt△EDB中，DB=5 m，


BE=BC+EC＝2+5sin40°(m).


根据勾股定理，得DE= SKIPIF 1 < 0 ≈7.96(m).





所以钢缆ED的长度为7.96 m.


2.如图，水库大坝的


截面是梯形ABCD，坝顶AD


＝6 m，坡长CD＝8 m.坡底


BC＝30 m，∠ADC=135°.


(1)求∠ABC的大小：


(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m3)


解：过A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，E、F为垂足.


(1)在梯形ABCD中.∠ADC＝135°，


∴∠FDC＝45°，EF＝AD=6 m.在Rt△FDC中，DC＝8 m.DF＝FC＝CD.sin45°=4 SKIPIF 1 < 0 (m).


∴BE=BC-CF-EF=30-4 SKIPIF 1 < 0 -6=24-4 SKIPIF 1 < 0 (m).


在Rt△AEB中，AE＝DF=4 SKIPIF 1 < 0 (m).


tanABC＝ SKIPIF 1 < 0 ≈0.308.


∴∠ABC≈17°8′21″.


(2)梯形ABCD的面积S＝ SKIPIF 1 < 0 (AD+BC)×AE


= SKIPIF 1 < 0 (6+30)×4 SKIPIF 1 < 0 =72 SKIPIF 1 < 0 (m2).


坝长为100 m，那么建筑这个大坝共需土石料100×72 SKIPIF 1 < 0 ≈10182.34(m3).


综上所述，∠ABC＝17°8′21″，建筑大坝共需10182.34 m3土石料.


Ⅳ.课时小结