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数学第24章 圆24.7 弧长与扇形面积24.7.2 圆锥的侧面展开图及计算第2课时教案设计
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这是一份数学第24章 圆24.7 弧长与扇形面积24.7.2 圆锥的侧面展开图及计算第2课时教案设计，共4页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。
第2课时 圆锥的侧面展开图
1．经历圆锥侧面积的探究过程；
2．学会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题(重点，难点)．
一、情境导入
观察下面一组图片，图中物体有什么共同特点？你知道它们的侧面展开图是什么图形吗？
二、合作探究
探究点：与圆锥侧面展开图相关的计算
【类型一】 求圆锥的侧面积
小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( )
A．270πcm2 B．540πcm2
C．135πcm2 D．216πcm2
解析：圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．圆锥形礼帽的侧面积＝π×9×30＝270π(cm2)，故选A.
方法总结：把圆锥侧面问题转化为扇形问题是解决此类问题的一般步骤，体现了空间图形和平面图形的转化思想．同时还应抓住两个对应关系，即圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径，结合扇形的面积公式或弧长公式即可解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 求圆锥底面的半径
用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( )
A．2πcm B．1.5cm
C．πcm D．1cm
解析：设底面半径为r，根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr＝eq \f(120×3π,180)，∴r＝1，故选D.
方法总结：用扇形围成圆锥时，扇形的弧长是底面圆的周长．扇形的弧长公式为l＝eq \f(nπr,180).
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】 求圆锥的高
小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是( )
A．4cm B．6cm
C．8cm D．2cm
解析：如图，∵圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长＝6πcm，圆锥的底面圆周长＝2π·OB，∴2π·OB＝6π，解得OB＝3.又∵圆锥的母线长AB＝扇形的半径＝5cm，∴圆锥的高OA＝eq \r(AB2－OB2)＝4cm.故答案选A.
方法总结：这类题要抓住两个要点：(1)圆锥的母线长为扇形的半径；(2)圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．再结合题意，综合运用勾股定理、方程思想就可解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型四】 求圆锥的侧面展开图的圆心角
一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角是( )
A．120° B．180°
C．240° D．300°
解析：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则由侧面积是底面积的2倍可知侧面积为2πr2，则2πr2＝πRr，解得R＝2r，利用弧长公式可列等式2πr＝eq \f(nπ·2r,180)，解方程得n＝180°.故选B.
方法总结：解关于圆柱和圆锥的侧面展开图的计算问题时，将立体图形和展开后的平面图形的各个量的对应关系联系起来至关重要．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型五】 运用圆锥的侧面积解决实际问题
某工厂生产一批漏斗，工人师傅要把一块矩形铁皮加工成底面半径为20cm，高为40eq \r(2)cm的圆锥形漏斗，并且要求只有一条接缝(接缝忽略不计)．请问选长、宽分别为多少的矩形铁皮(如图所示)，才能最节约成本(即用料最少)?
解析：由于底面半径，高线，母线正好组成直角三角形，可由勾股定理求得母线长，则扇形的圆心角＝底面周长×180÷(母线长×π)，可在矩形内画出一半径为60，圆心角为120°的扇形，由矩形和直角三角形的性质求得矩形的长和宽．
解：∵底面半径为20cm，高为40eq \r(2)cm，∴由勾股定理可知R＝eq \r(（40\r(2)）2＋202)＝60cm.∵l＝40π＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴扇形的圆心角＝40π×180÷60π＝120°，在矩形内画出一半径为60，圆心角为120°的扇形．如图，在矩形ABCD中，EF⊥AB，∠AFG＝120°，AD＝EF＝AF＝FG＝60cm，∵∠FGB＝∠EFG＝∠AFG－∠AFE＝120°－90°＝30°，∴FB＝FG·sin30°＝30cm，AB＝AF＋FB＝60＋30＝90cm.∴长为90cm，宽为60cm的矩形铁皮才能最节约成本．
方法总结：解决本题需将侧面展开，化曲面为平面，利用所给数值得到扇形的半径及圆心角，进而利用构造的直角三角形求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．圆锥的侧面展开图
(1)求圆锥的侧面积；
(2)求圆锥底面的半径；
(3)求圆锥的高；
(4)求圆锥的侧面展开图的圆心角；
(5)运用圆锥的侧面积解决实际问题．
教学过程中，强调学生应熟练掌握相关公式并会灵活运用．要充分发挥空间想象力，把立体图形与展开后的平面图形中的各个量准确对应起来.
第2课时 圆锥的侧面展开图
1．经历圆锥侧面积的探究过程；
2．学会求圆锥的侧面积，并能解决一些简单的实际问题(重点，难点)．
一、情境导入
观察下面一组图片，图中物体有什么共同特点？你知道它们的侧面展开图是什么图形吗？
二、合作探究
探究点：与圆锥侧面展开图相关的计算
【类型一】 求圆锥的侧面积
小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为( )
A．270πcm2 B．540πcm2
C．135πcm2 D．216πcm2
解析：圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线长，把相关数值代入计算即可．圆锥形礼帽的侧面积＝π×9×30＝270π(cm2)，故选A.
方法总结：把圆锥侧面问题转化为扇形问题是解决此类问题的一般步骤，体现了空间图形和平面图形的转化思想．同时还应抓住两个对应关系，即圆锥的底面周长对应着扇形的弧长，圆锥的母线长对应着扇形的半径，结合扇形的面积公式或弧长公式即可解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题
【类型二】 求圆锥底面的半径
用半径为3cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( )
A．2πcm B．1.5cm
C．πcm D．1cm
解析：设底面半径为r，根据底面圆的周长等于扇形的弧长，可得2πr＝eq \f(120×3π,180)，∴r＝1，故选D.
方法总结：用扇形围成圆锥时，扇形的弧长是底面圆的周长．扇形的弧长公式为l＝eq \f(nπr,180).
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题
【类型三】 求圆锥的高
小明用图中所示的扇形纸片作一个圆锥的侧面，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的高是( )
A．4cm B．6cm
C．8cm D．2cm
解析：如图，∵圆锥的底面圆周长＝扇形的弧长＝6πcm，圆锥的底面圆周长＝2π·OB，∴2π·OB＝6π，解得OB＝3.又∵圆锥的母线长AB＝扇形的半径＝5cm，∴圆锥的高OA＝eq \r(AB2－OB2)＝4cm.故答案选A.
方法总结：这类题要抓住两个要点：(1)圆锥的母线长为扇形的半径；(2)圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．再结合题意，综合运用勾股定理、方程思想就可解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型四】 求圆锥的侧面展开图的圆心角
一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则此圆锥侧面展开图的圆心角是( )
A．120° B．180°
C．240° D．300°
解析：设圆锥的母线长为R，底面半径为r，则由侧面积是底面积的2倍可知侧面积为2πr2，则2πr2＝πRr，解得R＝2r，利用弧长公式可列等式2πr＝eq \f(nπ·2r,180)，解方程得n＝180°.故选B.
方法总结：解关于圆柱和圆锥的侧面展开图的计算问题时，将立体图形和展开后的平面图形的各个量的对应关系联系起来至关重要．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型五】 运用圆锥的侧面积解决实际问题
某工厂生产一批漏斗，工人师傅要把一块矩形铁皮加工成底面半径为20cm，高为40eq \r(2)cm的圆锥形漏斗，并且要求只有一条接缝(接缝忽略不计)．请问选长、宽分别为多少的矩形铁皮(如图所示)，才能最节约成本(即用料最少)?
解析：由于底面半径，高线，母线正好组成直角三角形，可由勾股定理求得母线长，则扇形的圆心角＝底面周长×180÷(母线长×π)，可在矩形内画出一半径为60，圆心角为120°的扇形，由矩形和直角三角形的性质求得矩形的长和宽．
解：∵底面半径为20cm，高为40eq \r(2)cm，∴由勾股定理可知R＝eq \r(（40\r(2)）2＋202)＝60cm.∵l＝40π＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴扇形的圆心角＝40π×180÷60π＝120°，在矩形内画出一半径为60，圆心角为120°的扇形．如图，在矩形ABCD中，EF⊥AB，∠AFG＝120°，AD＝EF＝AF＝FG＝60cm，∵∠FGB＝∠EFG＝∠AFG－∠AFE＝120°－90°＝30°，∴FB＝FG·sin30°＝30cm，AB＝AF＋FB＝60＋30＝90cm.∴长为90cm，宽为60cm的矩形铁皮才能最节约成本．
方法总结：解决本题需将侧面展开，化曲面为平面，利用所给数值得到扇形的半径及圆心角，进而利用构造的直角三角形求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第7题
三、板书设计
1．圆锥的侧面展开图
(1)求圆锥的侧面积；
(2)求圆锥底面的半径；
(3)求圆锥的高；
(4)求圆锥的侧面展开图的圆心角；
(5)运用圆锥的侧面积解决实际问题．
教学过程中，强调学生应熟练掌握相关公式并会灵活运用．要充分发挥空间想象力，把立体图形与展开后的平面图形中的各个量准确对应起来.
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