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    2021年沪科版八年级数学下册 19.3.1 第2课时 矩形的判定 教案设计
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    2021年沪科版八年级数学下册 19.3.1 第2课时 矩形的判定 教案设计01
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    数学八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形第2课时教案设计

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    这是一份数学八年级下册19.3 矩形 菱形 正方形第2课时教案设计,共2页。教案主要包含了情境导入,合作探究,板书设计等内容,欢迎下载使用。




    1.理解并掌握矩形的判定方法;(重点)


    2.能熟练掌握矩形的判定及性质的综合应用.(难点)





    一、情境导入


    小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物,于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作,你有什么办法可以检测他做的是矩形相框?看看谁的方法可行!


    二、合作探究


    探究点一:矩形的判定


    【类型一】 对角线相等的平行四边形是矩形


    如图所示,外面的四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上,且AM=BP=CN=DQ.求证:四边形MPNQ是矩形.


    解析:要证明四边形MPNQ是矩形,应先证明它是平行四边形,由已知可再证明其对角线相等.





    证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD.


    ∵AM=BP=CN=DQ,


    ∴OM=OP=ON=OQ.


    ∴四边形MPNQ是平行四边形.


    又∵OM+ON=OQ+OP,


    ∴MN=PQ.


    ∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).


    方法总结:在判断四边形的形状时,若已知条件中有对角线,可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形.


    【类型二】 有三个角是直角的四边形是矩形


    如图,GE∥HF,直线AB与GE交于点A,与HF交于点B,AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线.求证:四边形ADBC是矩形.


    解析:利用已知条件,证明四边形ADBC有三个角是直角.





    证明:∵GE∥HF,


    ∴∠GAB+∠ABH=180°.


    ∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线,


    ∴∠1=eq \f(1,2)∠GAB,∠4=eq \f(1,2)∠ABH,


    ∴∠1+∠4=eq \f(1,2)(∠GAB+∠ABH)=eq \f(1,2)×180°=90°,


    ∴∠ADB=180°-(∠1+∠4)=90°.


    同理可得∠ACB=90°.


    又∵∠ABH+∠FBA=180°,


    ∠4=eq \f(1,2)∠ABH,∠2=eq \f(1,2)∠FBA,


    ∴∠2+∠4=eq \f(1,2)(∠ABH+∠FBA)=eq \f(1,2)×180°=90°,即∠DBC=90°.


    ∴四边形ADBC是矩形.


    方法总结:矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的,注意它们的区别和联系,此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角,则这个四边形就是矩形.


    【类型三】 有一个角是直角的平行四边形是矩形


    如图所示,在△ABC中,D为BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD.连接BF.





    (1)BD与DC有什么数量关系?请说明理由;


    (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?并说明理由.


    解析:(1)根据“两直线平行,内错角相等”得出∠AFE=∠DCE,然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等,根据“全等三角形对应边相等”可得AF=CD,再利用等量代换即可得BD=CD;(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形,再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB=90°.由等腰三角形“三线合一”的性质可知△ABC满足的条件必须是AB=AC.


    解:(1)BD=CD.理由如下:


    ∵AF∥BC,


    ∴∠AFE=∠DCE.


    ∵E是AD的中点,


    ∴AE=DE.


    在△AEF和△DEC中,eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠AFE=∠DCE,,∠AEF=∠DEC,,AE=DE,))


    ∴△AEF≌△DEC(AAS).


    ∴AF=CD.


    ∵AF=BD,


    ∴BD=DC;


    (2)当△ABC满足AB=AC时,四边形AFBD是矩形.理由如下:


    ∵AF∥BD,AF=BD,


    ∴四边形AFBD是平行四边形.


    ∵AB=AC,BD=DC,


    ∴∠ADB=90°.


    ∴四边形AFBD是矩形.


    方法总结:本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法,明确有“一个角是直角的平行四边形是矩形”是解本题的关键.


    探究点二:矩形的性质和判定的综合运用





    如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点,且AE=BF=CG=DH.


    (1)求证:四边形EFGH是矩形;


    (2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点,且DG⊥AC,OF=2cm,求矩形ABCD的面积.


    解析:(1)证明四边形EFGH对角线相等且互相平分;(2)根据题设求出矩形的边长CD和BC,然后根据矩形面积公式求得.


    (1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OC=OD.∵AE=BF=CG=DH,∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH,即OE=OF=OG=OH,∴四边形EFGH是矩形;


    (2)解:∵G是OC的中点,∴GO=GC.∵DG⊥AC,∴∠DGO=∠DGC=90°.又∵DG=DG,∴△DGC≌△DGO,∴CD=OD.∵F是BO中点,OF=2cm,∴BO=4cm.∵四边形ABCD是矩形,∴DO=BO=4cm,∴DC=4cm,DB=8cm,∴CB=eq \r(DB2-DC2)=4eq \r(3)cm,∴S矩形ABCD=4×4eq \r(3)=16eq \r(3)(cm2).


    方法总结:首先要判定四边形是平行四边形,然后证明对角线相等.


    三、板书设计








    通过探索与交流,得出矩形的判定定理,使学生亲身经历知识的发生过程,并会运用定理解决相关问题.通过开放式命题,尝试从不同角度寻求解决问题的方法.通过动手实践、合作探索、小组交流,培养学生的逻辑推理能力.
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