初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明2 直角三角形第2课时教案及反思

这是一份初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明2 直角三角形第2课时教案及反思，共3页。教案主要包含了情境导入，合作探究，板书设计等内容，欢迎下载使用。



1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”；(重点)


2．经历探究“斜边、直角边”判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．(难点)











一、情境导入


舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．


(1)你能帮他想个办法吗？


(2)如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？


工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？





二、合作探究


探究点：直角三角形全等的判定


【类型一】 应用“HL”证明三角形全等


如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.


求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.





解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．


证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(BF＝CE，,AB＝CD，))


∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．


方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．


【类型二】 利用“HL”证明线段相等


如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.





解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.


证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.


方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决．直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．


【类型三】 利用“HL”证明角相等


如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.





解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等．


证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AB＝AD，,AC＝AC，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.


方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．


【类型四】 利用“HL”解决动点问题





如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，PQ＝AB.P，Q两点分别在线段AC和过点A且垂直于AC的射线AM上运动，且点P不与点A，C重合．那么当点P运动到什么位置时，才能使△ABC与△APQ全等？


解析：本题要分情况讨论：①Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝10，可据此求出P点的位置．②Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合，不合题意．


解：根据三角形全等的判定方法HL可知：①当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°，∴在Rt△ABC与Rt△QPA中，AP＝BC，PQ＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，即AP＝BC＝10；②当P运动到与C点重合时，AP＝AC，不合题意．综上所述，当点P运动到距离点A为10时，△ABC与△APQ全等．


方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．


【类型五】 综合运用全等三角形的判定方法判定直角三角形全等


如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC.求证：OB＝OC.





解析：已知BE⊥AC，CD⊥AB可推出∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°，由AO平分∠BAC可知∠1＝∠2，然后根据AAS证得△AOD≌△AOE，△BOD≌△COE，即可证得OB＝OC.


证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝∠AEB＝∠CEB＝90°.∵AO平分∠BAC，∴∠1＝∠2.在△AOD和△AOE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠ADC＝∠AEB，,∠1＝∠2，,OA＝OA，))


∴△AOD≌△AOE(AAS)，∴OD＝OE.在△BOD和△COE中，∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠BDC＝∠CEB，,OD＝OE，,∠BOD＝∠COE，))∴△BOD≌△COE(ASA)．∴OB＝OC.


方法总结：判定直角三角形全等的方法除“HL”外，还有SSS、SAS、ASA、AAS.


三、板书设计


1．作直角三角形


2．直角三角形全等的判定


斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．





本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行．在探究直角三角形全等的判定方法——“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流．在寻找未知的等边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明．此外，还要注重通过适量的练习巩固所学的新知识.