六年级思维专项训练20 数论综合(原卷+解析）

六年级思维训练20  数论综合 1   公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．   2  一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．    3  (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？       4  如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？                          4宫格    9宫格5  二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人．      6   从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出       种不同的挑法来（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）．                                                                             7  能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有       个     8  不大于2009的自然数中，被3整除且恰有一个数码是6的有    个     9   试说明，将1+++。。。+的和写成一个最简分数时，m不会是5的倍数     10 数89之数码和为17．请问1、2、3、…、2008这2008个数之数码和的总和为多少？     11   是一个四位数，由四个阿拉伯数字a、b，1，2组成的其他23个四位数的和等于90669，求a和6的值．   12  N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是                    13 在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3_』-6=9，9可以整除3×6；再如，6__-30=36，36可以整除6×30）．请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．  4、_  ___、____、____、3      14   N为自然数，且N+l、N+2、…、N+9与690都有大于1的公因数.N的最小值为         15   写一个首位数字比末位数字大2的n位数（n大于或等于3）A，交换首位数字和末尾数字，得n位数B，A、B相减（大数减小数），所得的差为n位数C，把C的首位数字和末尾数字互换得D，C和D的和是S，不论写怎样的符合要求的数A，所得S都是一个常数K的倍数，则K的最大值是       
六年级思维训练20  数论综合参考答案1   公元前后，居住在墨西哥东部尤卡坦半岛的玛雅人的记数法是二十进制，他们基本的数字符号仅有两个：“．”和“一”，“．”来自玉米、豆子或卵石的形状，表示1；“一”是豆荚的形状，表示5．用这两个符号的上、下排列，组成了1～19各个数字（如下图所示）．        【答案】68097【分析】17+4×20+10×+8×=680972  一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是——．【答案】36126或54189   【分析】这个五位数为，由题意= 2007 (a+b+c+d +e）    由于9¦ 2007，可得9¦，则有9¦(a+b+c+d+e)， 2007×9=18063，这个五位数是18063的倍数，只可能为：18063,36126,54189,7225290315.经检验，36126和54189符合题意．3  (1)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数能被4整除？(2)从1到3998这3998个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被4整除？【答案】 (1)999个，(2)999个．【分析】(l)由于每连续4个自然数中必有一个能被4整除，3998÷4=999……2．因此从1到3998这3998个自然数中能被4整除的一共有999个‘  (2)为了方便，将0到3999这4000个整数都看成四位数（不是四位则在前面补零，如12=0012）．由于b.c，d各有10种数字可任意选择，而且当b.c.d选定后．为满足a+b+c+d能被4整除，千位数字“必唯一确定．事实上，若b+c+d=4K时，则a=o；若b+c+d=4K+l 时．则a=3 ：若b+c+d=4K+2时，则a=2；若b+C+d=4K+3，则a=1．（K为整数）综上所述，在o到3999这4000个整数中有1×10 ×10×10=1000（个）数的各位数字之和能被4整除．因此，从1到3998这3998个自然数中有1ooo-1=999(个）数的各位数字之和能被4整除，4  如下图所示，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棒；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棒．小明用1300根火柴棒，恰好摆放成一个m×m的“m-宫格”，问m =？76田                             4宫格    9宫格【答案】25【分析】  向的火柴棒有m+1列，每列有m根，也共有m(m+1)根．所以，摆放”，宫格”共用了2m( m+1) 根火柴棒．    由2m(m+ l) =1300，得到m(m+1)=650=2××13=25×26．因此m=25 ．5  二十多位小朋友围成一圈做游戏，他们依顺时针顺序从小赵报1开始连续报数，但7的倍数或带有数字7的数都要跳过去不报；报错的人表演一个节目．小明是第一个报错的人，当他右边的同学报90时他错报了91．如果他第一次报数报的是19，那么这群小朋友共有——人． 【答案】24【分析】情况一：．．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友不报数而是拍手．再下一个小朋友报8．此时，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数（报出来或者拍  手跳过）之间的差 等于总人数．小明本次应当拍手，而不是报出91．所以”总人数是91—19=72的约数．有72．36．24，18，……，其中是“二十多”的只有24．    情况二：，．跳过去不报”指一个小朋友报了6，下一个小朋友直接报8．此时．把所有i的倍数和带有数字7的数去掉之后，剩余的数排成一列，每个人应当轮到的数和上一次轮到的数在这个数列中的位置号之差等于总人数．    从19到90这72个数中，含有数字7的有27,37,47,57,67,70到79.87．共16个．是i的倍数且不含有数字7的有21,28,35,42,49,56,63,84共8令，所以排除掉之后剩下48个．总人数应当是48的约数，有48,24,16，……，其中是“二十多”的也只有24。    这道题目存在两种不同的情况，但是答案却恰好相同，这确实是巧合，但也令人感叹数学之美妙！6   从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在下图的六个圆圈内，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出       种不同的挑法来（六个数字相同、排列次序不同的都算同一种）．                                                                          【答案】 7 7【分析】本题采用枚举与筛选的方法求解．设以、a，b，c和x,y,z为1～9中的六个不同的数’    如下图排列，显然任意相邻两数之和均为大于2的质数，即奇质数，由于以a+x，以a+z均为奇数，    因此（a+x）一(a+z)=x-z是偶数，这就是说x与z是同奇偶；从而可以推知，a,b,c同奇偶；    若x,y,z为偶数，这样x,y,z仅有四种取值方法(2，4，6；2，4，8；2，6，8；4，6，8)．以2,6,8为例7  能被3整除且至少有一个数字是6的四位数有       个【答案】1056【分析】四位数共有9000个，其中3的信数有3000个.可以采用排除法，首先考虑有多少个叫位数是3的倍数但不含有数码6.首位数码有8种选择，第二、三位数码都有9种选择。当前三位的数码确定后，如果它们的和除以3余数为0.则第四位数码可以为0、3、9；如果余数为1，则第四位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第四位数码可以为1、4、7.可见只要前三位数码确定了，第四位数码都有3种选择，所以四位数中是3的倍数似不含有数码6的数共有8×9×9×3-1944（个）.所以满足条件的四位数共有3000-1914=1056（个）.8  不大于2009的自然数中，被3整除且恰有一个数码是6的有    个【答案】162【分析】2000~2009之间没有满足条件的数，只需考虑0~1999之问.首位数码有两种选法，只能是0或1：而数码6需要在剩下的二位中任选一个位置有三利选法；接下来一位除6之外均可选择.所以有9种选法；对于最后选数码的一位，如果已选的=位数码的和除以3余数为0，则可以为0、3、9；如果余数为1，则可以为2、5、8；如果余数为2，贝可以为1、4、7.可见只要前三位数码确定了，最后一位数码都有3种选择，所以四位数中是3的倍数旦只含有个数码6的数共有2×3×9×3=162（个）.9   试说明，将1+++。。。+的和写成一个最简分数时，m不会是5的倍数【分析】分母中仅有25被52整除，因此通分后，公分母是52×a，a是不被5整除的自然数（事实上，a=25×32×7×11×13×17×19×23×29×31×37），并且除去示变为外，其他分数的分子都是5的倍数。因面这些分数的和成为 ，其中b是自然数，由于a不是5的倍数.所以5×b十a不是5的倍数，当然约分后得到的最简分数”的分子m不会是5的倍数。 10 数89之数码和为17．请问1、2、3、…、2008这2008个数之数码和的总和为多少？【答案】28054【分析】这2008个数的个位数码之和是（1-213+4-5+6+7+8-9）×200+（1-2-3+4+5+6+7-8）-9036；这2008个数的十位数码之和是（1+2+3+4-5-66+7+8-9）×200=9000；这2008个数的百位数码之和是（1+2+3+4+5-6+7+8+9）×200一9000；这2008个数的千位数码之和是1×1000-2×9-1018；11   是一个四位数，由四个阿拉伯数字a、b，1，2组成的其他23个四位数的和等于【分析】90669，求a和6的值．12  N是一个各位数字互不相等的自然数，它能被它的每个数字整除．N的最大值是 【分析】13 在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数．其中每相邻两个数的和可以整除它们的积（例如，3_』-6=9，9可以整除3×6；再如，6__-30=36，36可以整除6×30）．    请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相邻两个数的和可以整除它们的积．  4、_  ___、____、____、3【分析】 14   N为自然数，且N+l、N+2、…、N+9与690都有大于1的公因数.N的最小值为     【分析】15   写一个首位数字比末位数字大2的n位数（n大于或等于3）A，交换首位数字和末尾数字，得n位数B，A、B相减（大数减小数），所得的差为n位数C，把C的首位数字和末尾数字互换得D，C和D的和是S，不论写怎样的符合要求的数A，所得S都是一个常数K的倍数，则K的最大值是        【分析】8至紫四位数共有9000个，其中3的信数有3000个.可以采用排除法，首先考虑有多少个叫位数是3的倍数但不含有数码6.首位数码有8种选择，第二、三位数码都有9种选择。当前三位的数码确定后，如果它们的和除以3余数为0.则第四位数码可以为0、3、9；如果余数为1，则第四位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第四位数码可以为1、4、7.可见只要前三位数码确定了，第四位数码都有3种选择，所以四位数中是3的倍数似不含有数码6的数共有8×9×9×3-1944（个）.所以满足条件的四位数共有3000-1914=1056（个）.