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数学人教A版 (2019)6.3 二项式定理同步练习题
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这是一份数学人教A版 (2019)6.3 二项式定理同步练习题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
二项式定理
一、单选题
1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）
A．B．C．20D．160
2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10B．15C．20D．25
3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）
A．B．C．3D．4
4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．第项B．第项C．第项D．第项
6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）
A．240B．120C．48D．36
8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项
二、多选题
9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为32B．所有项的系数和为0
C．常数项为D．二项式系数最大的项为第3项
12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.
14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.
15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是
16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x的项的系数是__________．
四、解答题
17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求
（1）的值；
（2）的值.
18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：
（1）含的项；
（2）二项式系数最大的项．
19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求系数最大的项．
22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
专题28 二项式定理
一、单选题
1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）
A．B．C．20D．160
【答案】A
【解析】
展开式的通项公式为，
令，可得，故展开式的常数项为，
故选：A.
2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】B
【解析】
的二项展开式的通项为．
令，解得．
含的项的系数是．
故选：B
3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】D
【解析】
展开式中的第项为，
当，即时，此时；
当，即时，此时.则.
故选:D.
4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
当取 时， 取8个，则，
当 取时， 取7个，则，
所以 .
故选：A
5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．第项B．第项C．第项D．第项
【答案】B
【解析】
的展开式的通项公式为：，
要使系数最大，则r为偶数，且r只可能从2，4，6中选，
故，且，
所以，且，
所以，且，
经验证：当时，符合，
所以的展开式中系数最大的项为第五项，
故选：B
6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
【答案】C
【解析】
由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C.
7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）
A．240B．120C．48D．36
【答案】A
【解析】
由题意，解得，则，
则二项式的展开式的通项公式为，
令即，则.
故选：A.
8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项
【答案】A
【解析】
因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等
所以，所以
所以展开式里系数最大的项是第6项
故选：A
二、多选题
9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】ABC
【解析】
∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n＝8或n＝9
故选：ABC.
10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】CD
【解析】
由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，
又因为其相等，则
所以该展开式中二项式系数最大的项为与项
即为第5项；第6项.
故选：CD
11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为32B．所有项的系数和为0
C．常数项为D．二项式系数最大的项为第3项
【答案】BC
【解析】
解：二项式展开式的通项为
令，解得，则常数项为，故C正确；
且二项式系数最大的项为第4项，故D错误；
二项式系数和；
令，得所有项的系数和为0，故A错误，B正确；
故选：BC
12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
对于，因为，，所以，即正确；
对于，，故正确；
对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；
对于，因为，
等式左边的系数为：，
等式右边的系数为：，
所以，故正确.
故选：ABD
三、填空题
13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.
【答案】64
【解析】
在中，令可得，.
所以
故答案为：64.
14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.
【答案】
【解析】
由题得原式=.
故答案为：
15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是
【答案】40
【解析】
依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.
16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x的项的系数是__________．
【答案】128 84
【解析】
由题意所有二项式系数的和为，
题中二项式展开式通项公式为，令，，
所以含x的项的系数是．
故答案为：128；84．
四、解答题
17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求
（1）的值；
（2）的值.
【答案】（1）；（2）1093
【解析】
（1）令，则；
（2）令，则①
令，则
②
由①②得，即
18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：
（1）含的项；
（2）二项式系数最大的项．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）展开式的通项为，
由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，
，解得，则展开式通项为，
令，解得，因此，展开式中含的项为；
（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.
19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
（1）由题意知，
又展开式的通项为：
展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项
所以，
（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，
也即在，，，中产生，
而，， ，
故系数最大的项为第5项
20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）；（2）,,．
【解析】
二项式展开式的通项公式为
，；
（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得
，
即,
解得；
（2）二项式展开式的通项公式为
，；
当时,对应项是有理项,
所以展开式中所有的有理项为
,
,
．
21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求系数最大的项．
【答案】（1），，（2）和
【解析】
（1）∵
由题设可知
解得n=8或n=1（舍去）
当n=8时，通项
据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8
∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，
（2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1
∵， 由≥1得r≤3
又∵，由≤1得：r≥2
∴ r=2或r=3所求项为和
22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．
1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，
解得：或舍去．
即n的值为6．
2由通项公式，
令，
可得：．
展开式中的常数项为；
是偶数，展开式共有7项则第四项最大
展开式中二项式系数最大的项为．
二项式定理
一、单选题
1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）
A．B．C．20D．160
2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10B．15C．20D．25
3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）
A．B．C．3D．4
4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．第项B．第项C．第项D．第项
6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）
A．240B．120C．48D．36
8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项
二、多选题
9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7B．8C．9D．10
10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为32B．所有项的系数和为0
C．常数项为D．二项式系数最大的项为第3项
12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.
14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.
15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是
16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x的项的系数是__________．
四、解答题
17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求
（1）的值；
（2）的值.
18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：
（1）含的项；
（2）二项式系数最大的项．
19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求系数最大的项．
22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
专题28 二项式定理
一、单选题
1．（2020·北京高三一模）在的展开式中，常数项是（ ）
A．B．C．20D．160
【答案】A
【解析】
展开式的通项公式为，
令，可得，故展开式的常数项为，
故选：A.
2．（2020·江苏省邗江中学高二期中）在的二项展开式中，含的项的系数是（ ）
A．10B．15C．20D．25
【答案】B
【解析】
的二项展开式的通项为．
令，解得．
含的项的系数是．
故选：B
3．（2020·北京大峪中学高二期中）的展开式的常数项是（ ）
A．B．C．3D．4
【答案】D
【解析】
展开式中的第项为，
当，即时，此时；
当，即时，此时.则.
故选:D.
4．（2020·江苏省邗江中学高二期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
当取 时， 取8个，则，
当 取时， 取7个，则，
所以 .
故选：A
5．（2020·北京市鲁迅中学高二月考）的展开式中系数最大的项为（ ）
A．第项B．第项C．第项D．第项
【答案】B
【解析】
的展开式的通项公式为：，
要使系数最大，则r为偶数，且r只可能从2，4，6中选，
故，且，
所以，且，
所以，且，
经验证：当时，符合，
所以的展开式中系数最大的项为第五项，
故选：B
6．（2020·阳江市第三中学高二期中）的展开式中，系数最小的项为（ ）
A．第6项B．第7项C．第8项D．第9项
【答案】C
【解析】
由题设可知展开式中的通项公式为，其系数为，当为奇数时展开式中项的系数最小，则，即第8项的系数最小，应选答案C.
7．（2020·辽宁省高三其他（理））已知二项式的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）
A．240B．120C．48D．36
【答案】A
【解析】
由题意，解得，则，
则二项式的展开式的通项公式为，
令即，则.
故选：A.
8．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高二期中）在的展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（ ）
A．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项
【答案】A
【解析】
因为的展开式中每一项的系数和二项式系数相等，第4项与第8项的系数相等
所以，所以
所以展开式里系数最大的项是第6项
故选：A
二、多选题
9．（2020·江苏省扬州中学高二期中）已知的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为（ ）
A．7B．8C．9D．10
【答案】ABC
【解析】
∵已知的展开式中第5项的二项式系数最大,则或n＝8或n＝9
故选：ABC.
10．（2020·南京市江宁高级中学高二期中）若的展开式中第3项与第8项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第3项B．第4项C．第5项D．第6项
【答案】CD
【解析】
由题可知，该二项展开式中的项的系数于二项式系数相等，且展开式中第3项与第8项的系数为，
又因为其相等，则
所以该展开式中二项式系数最大的项为与项
即为第5项；第6项.
故选：CD
11．（2020·福建省南安市侨光中学高二月考）关于的展开式，下列结论正确的是( )
A．所有项的二项式系数和为32B．所有项的系数和为0
C．常数项为D．二项式系数最大的项为第3项
【答案】BC
【解析】
解：二项式展开式的通项为
令，解得，则常数项为，故C正确；
且二项式系数最大的项为第4项，故D错误；
二项式系数和；
令，得所有项的系数和为0，故A错误，B正确；
故选：BC
12．（2020·江苏省高二期中）下列组合数公式中恒成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
对于，因为，，所以，即正确；
对于，，故正确；
对于，当时，左边，右边，等式不成立，故不正确；
对于，因为，
等式左边的系数为：，
等式右边的系数为：，
所以，故正确.
故选：ABD
三、填空题
13．（2020·上海复旦附中高二期中）若，则=__________.
【答案】64
【解析】
在中，令可得，.
所以
故答案为：64.
14．（2020·上海交大附中高三期中）计算：_____.
【答案】
【解析】
由题得原式=.
故答案为：
15．（2020·山东省高二期中）二项式的展开式中的系数是
【答案】40
【解析】
依题意，二项式展开式的通项公式为，当，故的系数是.
16．（2020·浙江省高三三模）二项式的展开式中，所有二项式系数的和是__________，含x的项的系数是__________．
【答案】128 84
【解析】
由题意所有二项式系数的和为，
题中二项式展开式通项公式为，令，，
所以含x的项的系数是．
故答案为：128；84．
四、解答题
17．（2020·延安市第一中学高二期中（理））已知，求
（1）的值；
（2）的值.
【答案】（1）；（2）1093
【解析】
（1）令，则；
（2）令，则①
令，则
②
由①②得，即
18．（2020·北京大峪中学高二期中）已知展开式中的第三项的系数为，求：
（1）含的项；
（2）二项式系数最大的项．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）展开式的通项为，
由于展开式中第三项的系数为，即，即，整理得，
，解得，则展开式通项为，
令，解得，因此，展开式中含的项为；
（2）由二项式系数的对称性可知，二项式系数最大的项为.
19．（2020·湖北省高二期中）已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
（1）由题意知，
又展开式的通项为：
展开式中共有8项，其中二项式系数最大的项为第4，第5项
所以，
（2）展开式中系数最大的项必须在正的系数项中产生，即在，，，时，
也即在，，，中产生，
而，， ，
故系数最大的项为第5项
20．（2020·怀仁市第一中学校高二月考（理））已知（x+）n的展开式中的第二项和第三项的系数相等．
（1）求n的值；
（2）求展开式中所有的有理项．
【答案】（1）；（2）,,．
【解析】
二项式展开式的通项公式为
，；
（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得
，
即,
解得；
（2）二项式展开式的通项公式为
，；
当时,对应项是有理项,
所以展开式中所有的有理项为
,
,
．
21．（2020·江西省上高二中高二月考（理））在二项式的展开式中，前三项的系数依次成等差数列．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求系数最大的项．
【答案】（1），，（2）和
【解析】
（1）∵
由题设可知
解得n=8或n=1（舍去）
当n=8时，通项
据题意，必为整数，从而可知r必为4的倍数，而0≤r≤8
∴ r=0，4，8，故x的有理项为，，
（2）设第r+1项的系数tr+1最大，显然tr+1>0，故有≥1且≤1
∵， 由≥1得r≤3
又∵，由≤1得：r≥2
∴ r=2或r=3所求项为和
22．（2020·广西壮族自治区钦州一中高二月考（理））已知展开式前三项的二项式系数和为22．
（1）求的值；
（2）求展开式中的常数项；
（3）求展开式中二项式系数最大的项．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
由题意，展开式前三项的二项式系数和为22．
1二项式定理展开：前三项二项式系数为：，
解得：或舍去．
即n的值为6．
2由通项公式，
令，
可得：．
展开式中的常数项为；
是偶数，展开式共有7项则第四项最大
展开式中二项式系数最大的项为．
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