2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案）第03章 阅读与欣赏(二)　数学抽象——活用函数性质中“三个二级”结论

　　　　　　　　　　　数学抽象——活用函数性质中“三个二级”结论

函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题．

一、奇函数的最值性质

已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x) 在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.

设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．

【解析】　函数f(x)的定义域为R，

f(x)＝＝1＋，

设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，

所以g(x)为奇函数，

由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，

所以M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.

【答案】　2

二、抽象函数的周期性

(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.

已知定义在R上的函数f(x)，对任意实数x有f(x＋4)＝－f(x)＋2，若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，f(1)＝2，则f(17)＝________．

【解析】　由函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，故f(x)为偶函数．

由f(x＋4)＝－f(x)＋2，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2＝f(x)，所以f(x)是最小正周期为8的偶函数，所以f(17)＝f(1＋2×8)＝f(1)＝2.

【答案】　2

三、抽象函数的对称性

已知函数f(x)是定义在R上的函数．

(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．

(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称．

(2020·黑龙江牡丹江一中期末)设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，下面关于f(x)的判定，其中正确命题的个数为(　　)

①f(4)＝0；

②f(x)是以4为周期的函数；

③f(x)的图象关于x＝1对称；

④f(x)的图象关于x＝2对称．

A．1　　　　　　　　　　 B．2

C．3  D．4

【解析】　因为f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，

因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

即f(x)是以4为周期的周期函数，f(4)＝f(0)＝0，

因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f[(x＋1)＋1]＝f(－x)，

令t＝x＋1，则f(t＋1)＝f(1－t)，所以f(x＋1)＝f(1－x)，

所以f(x)的图象关于x＝1对称，而f(2＋x)＝f(2－x)显然不成立．

故正确的命题是①②③，故选C．

【答案】　C