2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第06章 第4讲　数系的扩充与复数的引入

[基础题组练]

1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：选C．由题意，得＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C．

2．若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　)

A．－2  B．－1

C．1  D．2

解析：选A．因为复数z＝＋1＝＋1＝＋1－i为纯虚数，所以＋1＝0且－≠0，解得a＝－2.故选A．

3．已知复数z满足(1＋i)z＝2，则复数z的虚部为(　　)

A．1  B．－1

C．i  D．－i

解析：选B．法一：因为(1＋i)z＝2，所以z＝＝＝1－i，则复数z的虚部为－1.故选B．

法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则(1＋i)(a＋bi)＝a－b＋(a＋b)i＝2，解得a＝1，b＝－1，所以复数z的虚部为－1.故选B．

4．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则共轭复数＝(　　)

A．1＋i  B．1－i

C．－1－i  D．－1＋i

解析：选B．由题意，得z＝i(1－i)＝1＋i，所以＝1－i，故选B．

5．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝(　　)

A．－7  B．7

C．－4  D．4

解析：选A．因为＝1＋＋＝－3－4i，

所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，

所以a＋b＝－7，故选A．

6．已知i为虚数单位，则＝(　　)

A．5  B．5i

C．－－i  D．－＋i

解析：选A．法一：＝＝5，故选A．

法二：＝＝＝5，故选A．

7．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)

A．1  B．2

C．   D．

解析：选C．因为z＝＝＝1＋i，所以|z|＝.故选C．

8．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)

A．1或－1   B．或－

C．－   D．

解析：选A．法一：由题意可知＝a－i，所以z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.

法二：z·＝|z|2＝a2＋3＝4，故a＝1或－1.

9．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z2－＝(　　)

A．1＋3i  B．1－3i

C．－1＋3i  D．－1－3i

解析：选C．因为z＝1＋i，所以z2＝(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，＝＝＝＝＝1－i，则z2－＝2i－(1－i)＝－1＋3i.故选C．

10．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)

A．－4  B．－

C．4   D．

解析：选D．因为|4＋3i|＝＝5，所以z＝＝＝＝＋i，所以z的虚部为.

11．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则＝(　　)

A．1＋i   B．＋i

C．1＋i  D．1＋i

解析：选B．因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以＝＝＝＋i，故选B．

12．(多选)设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，z2＋|z|＝0且|z|≠0，则(　　)

A．|z|＝1  B．z＝1－i

C．z＝±i   D．z＝1

解析：选ACD．由z2＋|z|＝0且|z|≠0，得|z|＝－z2，|z|＝|z2|，故|z|＝1，即x2＋y2＝1.所以x2－y2＋2xyi＋＝0，故当x＝0时，y2＝1，则y＝±1，所以z＝±i；当y＝0时，无解．

13．设复数z满足＝|1－i|＋i(i为虚数单位)，则复数z＝________．

解析：复数z满足＝|1－i|＋i＝＋i，则复数z＝－i.

答案：－i

14．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则m＝________．

解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.

答案：－5

15．当复数z＝(m＋3)＋(m－1)i(m∈R)的模最小时，＝________．

解析：|z|＝

＝＝，

所以当m＝－1时，|z|min＝2，

所以＝＝＝－1＋i.

答案：－1＋i

16．已知复数z1＝1－i，z2＝4＋6i(i为虚数单位)，则＝________；若复数z＝1＋bi(b∈R)满足z＋z1为实数，则|z|＝________．

解析：因为z1＝1－i，z2＝4＋6i，所以＝＝＝＝－1＋5i.因为z＝1＋bi(b∈R)，所以z＋z1＝2＋(b－1)i，又因为z＋z1为实数，所以b－1＝0，得b＝1.所以z＝1＋i，则|z|＝.

答案：－1＋5i　

 [综合题组练]

1．(创新型)若实数a，b，c满足a2＋a＋bi<2＋ci(其中i2＝－1)，集合A＝{x|x＝a}，B＝{x|x＝b＋c}，则A∩∁RB为(　　)

A．∅

B．{0}

C．{x|－2<x<1}

D．{x|－2<x<0或0<x<1}

解析：选D．由于只有实数之间才能比较大小，故a2＋a＋bi<2＋ci⇔解得因此A＝{x|－2<x<1}，B＝{0}，故A∩∁RB＝{x|－2<x<1}∩{x|x∈R，x≠0}＝{x|－2<x<0或0<x<1}．

2．(多选)在复平面内，下列命题是真命题的是(　　)

A．若复数z满足∈R，则z∈R

B．若复数z满足z2∈R，则z∈R

C．若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2

D．若复数z∈R，则∈R

解析：选AD．A．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝＝－i，若∈R，则b＝0，所以z＝a∈R，故A为真命题；

B．若复数z＝i，则z2＝－1∈R，但z∉R，故B为假命题；

C．若复数z1＝i，z2＝2i满足z1z2＝－2∈R，但z1≠2，故C为假命题；

D．若复数z＝a＋bi∈R，则b＝0，＝z∈R，故D为真命题．

3．(应用型)(2020·成都第二次诊断性检测)若虚数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值是________．

解析：因为(x－2)＋yi是虚数，

所以y≠0，

又因为|(x－2)＋yi|＝，

所以(x－2)2＋y2＝3.

因为是复数x＋yi对应点的斜率，

所以＝tan∠AOB＝，

所以的最大值为.

答案：

4．已知复数z＝，则复数z在复平面内对应点的坐标为________．

解析：因为i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＋i4n＋4＝i＋i2＋i3＋i4＝0，而2 018＝4×504＋2，

所以z＝＝＝

＝＝＝i，对应的点的坐标为(0，1)．

答案：(0，1)

5．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数a的值．

解：1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i

＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i

＝＋(a2＋2a－15)i.

因为1＋z2是实数，所以a2＋2a－15＝0，

解得a＝－5或a＝3.

因为a＋5≠0，所以a≠－5，故a＝3.

6．若虚数z同时满足下列两个条件：

①z＋是实数；

②z＋3的实部与虚部互为相反数．

这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．

解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.

设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，

z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋

＝＋i.

因为z＋是实数，所以b－＝0.

又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①　　　　　　　　

又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，

所以a＋3＋b＝0.②　　　　　　　　

由①②得

解得或

故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.