2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第09章 第2讲　两直线的位置关系

[基础题组练]

1．已知直线ax＋2y＋2＝0与3x－y－2＝0平行，则系数a＝(　　)

A．－3  B．－6

C．－  D．

解析：选B．由直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行知，－＝3，a＝－6.

2．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t，1)，则n的值为(　　)

A．7  B．9

C．11  D．－7

解析：选A．由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t，1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1，1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.

3．若点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，则点P的坐标为(　　)

A．(1，2)  B．(2，1)

C．(1，2)或(2，－1)  D．(2，1)或(－1，2)

解析：选C．设P(x，5－3x)，则d＝＝，化简得|4x－6|＝2，

即4x－6＝±2，解得x＝1或x＝2，

故P(1，2)或(2，－1)．

4．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为(　　)

A．2x＋3y－12＝0  B．2x－3y－12＝0

C．2x－3y＋12＝0  D．2x＋3y＋12＝0

解析：选D．由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋(y－1)＝0，令可得x＝－3，y＝1，所以M(－3，1)，M不在直线2x＋3y－6＝0上，设直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，则＝，解得c＝12或c＝－6(舍去)，所以所求方程为2x＋3y＋12＝0，故选D．

5．直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是(　　)

A．x－2y＋3＝0  B．x－2y－3＝0

C．x＋2y＋1＝0  D．x＋2y－1＝0

解析：选A．设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，

由得

由点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，

所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.

6．过两直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为________．

解析：过两直线交点的直线系方程为x－3y＋4＋λ(2x＋y＋5)＝0，代入原点坐标，求得λ＝－，故所求直线方程为x－3y＋4－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0.

答案：3x＋19y＝0

7．已知直线l1：ax＋y＋3a－4＝0和l2：2x＋(a－1)y＋a＝0，则原点到l1的距离的最大值是________；若l1∥l2，则a＝________．

解析：直线l1：ax＋y＋3a－4＝0等价于a(x＋3)＋y－4＝0，则直线过定点A(－3，4)，当原点到l1的距离最大时，满足OA⊥l1，此时原点到l1的距离的最大值为|OA|＝＝5.

若a＝0，则两直线方程为y－4＝0和2x－y＝0，不满足直线平行；

若a＝1，则两直线方程为x＋y－1＝0和2x＋1＝0，不满足直线平行；

当a≠0且a≠1时，若两直线平行，则＝≠，

由＝得a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.

当a＝2时，＝，舍去，

当a＝－1时，≠，成立，即a＝－1.

答案：5　－1

8．已知点A(－1，2)，B(3，4)．P是x轴上一点，且|PA|＝|PB|，则△PAB的面积为________．

解析：设AB的中点坐标为M(1，3)，

kAB＝＝，

所以AB的中垂线方程为y－3＝－2(x－1)．

即2x＋y－5＝0.令y＝0，则x＝，

即P点的坐标为(，0)，

|AB|＝＝2.

点P到AB的距离为|PM|＝＝.

所以S△PAB＝|AB|·|PM|＝×2×＝.

答案：

9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；

(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解：(1)因为l1⊥l2，

所以a(a－1)－b＝0.

又因为直线l1过点(－3，－1)，

所以－3a＋b＋4＝0.

故a＝2，b＝2.

(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，

所以直线l1的斜率存在．

所以＝1－a.①

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，

所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②

联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.

10．已知△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求直线BC的方程．

解：依题意知：kAC＝－2，A(5，1)，

所以lAC的方程为2x＋y－11＝0，

联立得C(4，3)．

设B(x0，y0)，则AB的中点M，

代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，

联立得B(－1，－3)，

所以kBC＝，所以直线BC的方程为y－3＝(x－4)，即6x－5y－9＝0.

[综合题组练]

1．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　)

A．(－2，4)　　　　　　  B．(－2，－4)

C．(2，4)  D．(2，－4)

解析：选C．设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得所以BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.同理可得点B(3，1)关于直线y＝2x的对称点为(－1，3)，所以AC所在直线方程为y－2＝·(x＋4)，即x－3y＋10＝0.联立得解得则C(2，4)．故选C．

2．(创新型)(多选)定义点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距离为d＝.已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2.则以下命题不正确的是(　　)

A．若d1＝d2＝1，则直线P1P2与直线l平行

B．若d1＝1，d2＝－1，则直线P1P2与直线l垂直

C．若d1＋d2＝0，则直线P1P2与直线l垂直

D．若d1·d2≤0，则直线P1P2与直线l相交

解析：选BCD．对于A，若d1＝d2＝1，则ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝，直线P1P2与直线l平行，正确；

对于B，点P1，P2在直线l的两侧且到直线l的距离相等，P1P未必与l垂直，错误；

对于C，若d1＝d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，则点P1，P2都在直线l上，所以此时直线P1P2与直线l重合，错误；

对于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以点P1，P2分别位于直线l的两侧或在直线l上，所以直线P1P2与直线l相交或重合，错误．

3．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．

解析：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两直线垂直．

所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)．

所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.

当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立．

答案：5

4.如图，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，E(－1，0)，F(1，0)，一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上(不含端点)，则直线FD的斜率的取值范围为________．

解析：从特殊位置考虑．如图，因为点A(－2，0)关于直线BC：

x＋y＝2的对称点为A1(2，4)，所以kA1F＝4.又点E(－1，0)关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1(－2，1)，点E1(－2，1)关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2(1，4)，此时直线E2F的斜率不存在，所以kFD＞kA1F，即kFD∈(4，＋∞)．

答案：(4，＋∞)

5．已知直线l：x－y＋3＝0.

(1)求点A(2，1)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点A′；

(2)求直线l1：x－2y－6＝0关于直线l的对称直线l2的方程．

解：(1)设点A′(x′，y′)，

由题知解得

所以A′(－2，5)．

(2)在直线l1上取一点，如M(6，0)，则M(6，0)关于直线l的对称点M′必在l2上．设对称点为M′(a，b)，则解得M′(－3，9)．设l1与l的交点为N，则由得N(－12，－9)．又因为l2经过点N(－12，－9)，所以直线l2的方程为

y－9＝(x＋3)，即2x－y＋15＝0.

6．已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．

(1)证明对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；

(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.

解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．

因为方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，

所以解得

故直线经过的定点为M(2，－2)．

(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，　

此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.

但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，

所以M与Q不可能重合，即|PM|＝4，

所以|PQ|＜4，故所证成立．