2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第09章 第6讲　双曲线

[基础题组练]

1．(2019·高考北京卷)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的离心率是，则a＝(　　)

A． 　　　　　　　 B．4

C．2  D．

解析：选D．由双曲线方程－y2＝1，

得b2＝1，

所以c2＝a2＋1.

所以5＝e2＝＝＝1＋.

结合a＞0，解得a＝.

故选D．

2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)

A．2  B．4

C．6  D．8

解析：选B．由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B．

3．设双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P是双曲线上的一点，且|PF1|∶|PF2|＝3∶4，则△PF1F2的面积等于(　　)

A．10  B．8

C．8  D．16

解析：选C．依题意|F1F2|＝6，|PF2|－|PF1|＝2，因为|PF1|∶|PF2|＝3∶4，所以|PF1|＝6，|PF2|＝8，所以等腰三角形PF1F2的面积S＝×8× ＝8.

4．(2020·长春市质量监测(一))已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±2x

解析：选C．设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3，所以其渐近线方程为y＝±x，故选C．

5．(多选)(2021·预测)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其中一条渐近线上的一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)

A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x

B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1

C．点P的横坐标为±1

D．△PF1F2的面积为

解析：选ACD．等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．故选ACD．

6．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．

解析：因为双曲线x2－＝1(b＞0)经过点(3，4)，所以9－＝1(b＞0)，解得b＝，即双曲线方程为x2－＝1，其渐近线方程为y＝±x.

答案：y＝±x

7．(2020·云南昆明诊断测试改编)已知点P(1，)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线上，F为双曲线C的右焦点，O为原点．若∠FPO＝90°，则双曲线C的方程为________，其离心率为________．

解析：因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，点P(1，)在渐近线上，所以＝.在Rt△OPF中，|OP|＝＝2，∠FOP＝60°，所以|OF|＝c＝4.又c2＝a2＋b2，所以b＝2，a＝2，所以双曲线C的方程为－＝1，离心率e＝＝2.

答案：－＝1　2

8.如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为________．

解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e＞1，所以e2＝2＋，所以e＝.

答案：

9．已知椭圆D：＋＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．

解：椭圆D的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)，

因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.

设双曲线G的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，

所以渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，

又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为3.

所以＝3，得a＝3，b＝4，

所以双曲线G的方程为－＝1.

10．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．

(1)求双曲线方程；

(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上．

解：(1)因为离心率e＝，

所以双曲线为等轴双曲线，

可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，

则由点(4，－)在双曲线上，

可得λ＝42－(－)2＝6，

所以双曲线的方程为x2－y2＝6.

(2)证明：因为点M(3，m)在双曲线上，

所以32－m2＝6，所以m2＝3，

又双曲线x2－y2＝6的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，

所以·＝(－2－3，－m)·(2－3，－m)＝(－3)2－(2)2＋m2＝9－12＋3＝0，所以MF1⊥MF2，所以点M在以F1F2为直径的圆上．

[综合题组练]

1．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±x

解析：选C．如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c，0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，.又A1，A2的坐标分别为(－a，0)，(a，0)．

所以＝，＝.

因为A1B⊥A2C，所以·＝0，

即(c＋a)(c－a)－·＝0，

即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，故＝1，即＝1.

又双曲线的渐近线的斜率为±，

故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x.

2．过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)

A．  B．

C．＋1  D．

解析：选A．法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的性质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A．

法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝.

3．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·＜0，则y0的取值范围是________．

解析：由题意知a＝，b＝1，c＝，

设F1(－，0)，F2(，0)，

则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．

因为·＜0，

所以(－－x0)(－x0)＋y＜0，

即x－3＋y＜0.

因为点M(x0，y0)在双曲线C上，

所以－y＝1，即x＝2＋2y，

所以2＋2y－3＋y＜0，所以－＜y0＜.

答案：

4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝，·＝0，则C的离心率为________．

解析：法一：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．

所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan∠BF1O＝，tan∠BOF2＝.因为tan∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.

法二：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得B，因为点B在直线y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.

答案：2

5．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求|AB|.

解：(1)因为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，

所以解得c＝3，b＝，

所以双曲线的方程为－＝1.

(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，

所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．

联立得5x2＋6x－27＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.

所以|AB|＝ × ＝.

6．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率e＝，虚轴长为2.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)若直线l：y＝kx＋m与双曲线C相交于A，B两点(A，B均异于左、右顶点)，且以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D，求证：直线l过定点．

解：(1)设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．

由已知得＝，2b＝2，又a2＋b2＝c2，

所以a＝2，b＝1，所以双曲线的标准方程为－y2＝1.

(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立

得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0，

所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)＞0，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝.

因为以线段AB为直径的圆过双曲线C的左顶点D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1，即·＝－1，

所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0，

即＋＋＋4＝0，

所以3m2－16mk＋20k2＝0，

解得m＝2k或m＝.

当m＝2k时，l的方程为y＝k(x＋2)，直线过定点(－2，0)，与已知矛盾；

当m＝时，l的方程为y＝k，直线过定点，经检验符合已知条件．

故直线l过定点.