2021版新高考地区高考数学（人教版）大一轮复习（课件+学案+高效演练分层突破）第10章 第3讲　二项式定理

[基础题组练]

1.的展开式中的常数项为(　　)

A．－3  B．3

C．6  D．－6

解析：选D．通项Tr＋1＝C(－x4)r＝C()3－r·(－1)rx－6＋6r，当－6＋6r＝0，即r＝1时为常数项，T2＝－6，故选D．

2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数为(　　)

A．50  B．55

C．45  D．60

解析：选B．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中x4的系数是C＋C＋C＝55.故选B．

3．(多选)在二项式的展开式中，有(　　)

A．含x的项  B．含的项

C．含x4的项  D．含的项

解析：选ABC．二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C·35－r·(－2)r·x10－3r，r＝0，1，2，3，4，5，故展开式中含x的项为x10－3r，结合所给的选项，知ABC的项都含有．

4．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)

A．50  B．70

C．90  D．120

解析：选C．令x＝1，则＝4n，所以的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C32＝90，故选C．

5．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为(　　)

A．2n－1  B．2n－1

C．2n＋1－1  D．2n

解析：选C．令x＝1，得1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.

6.的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是(　　)

A．6  B．

C．4x  D．或4x

解析：选A．令x＝1，可得的展开式中各项系数之和为2n，即8＜2n＜32，解得n＝4，故第3项的系数最大，所以展开式中系数最大的项是C()2＝6.

7．(x2＋2)展开式中的常数项是(　　)

A．12  B．－12

C．8  D．－8

解析：选B．展开式的通项公式为Tr＋1＝C(－1)r＝(－1)rCxr－5，当r－5＝－2或r－5＝0，即r＝3或r＝5时，展开式的常数项是(－1)3C＋2(－1)5C＝－12.故选B．

8.展开式中的常数项为(　　)

A．1  B．21

C．31  D．51

解析：选D．因为＝

＝C(x＋1)5＋C(x＋1)4·＋C(x＋1)3·＋C(x＋1)2·＋C(x＋1)1·＋C.

所以展开式中的常数项为C·C·15＋C·C·13＋C·C·12＝51.故选D．

9．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝(　　)

A．1  B．243

C．121  D．122

解析：选B．令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①

令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②

①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，

即a4＋a2＋a0＝－121.

①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，

即a5＋a3＋a1＝122.

所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选B．

10．(2020·海口调研)若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)

A．  B．

C．1  D．2

解析：选D．由题意得的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·＝C·x10－2k，的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D．

11．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)

A．2n  B．

C．2n＋1  D．

解析：选D．设f(x)＝(1＋x＋x2)n，

则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①

f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②

由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，

所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.

12．已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为(　　)

A．39  B．310

C．311  D．312

解析：选D．对(x＋2)9＝ a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312，故选D．

13．(x－y)4的展开式中，x3y3项的系数为________．

解析：二项展开式的通项是Tk＋1＝C(x)4－k·(－y)k＝(－1)kCx4－y2＋，令4－＝2＋＝3，解得k＝2，故展开式中x3y3的系数为(－1)2C＝6.

答案：6

14．(2019·高考浙江卷)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．

解析：二项式(＋x)9展开式的通项为Tr＋1＝C()9－rxr.令r＝0，得常数项为C()9＝16.当r＝1，3，5，7，9时，系数为有理数，共5项．

答案：16　5

15．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝________．

解析：(x＋y)2m展开式中二项式系数的最大值为C，所以a＝C.

同理，b＝C.

因为13a＝7b，所以13·C＝7·C.

所以13·＝7·.

所以m＝6.

答案：6

[综合题组练]

1．已知C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，则C＋C＋…＋C的值等于(　　)

A．64  B．32

C．63  D．31

解析：选C．因为C－4C＋42C－43C＋…＋(－1)n4nC＝729，所以(1－4)n＝36，所以n＝6，因此C＋C＋…＋C＝2n－1＝26－1＝63，故选C．

2．设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝(　　)

A．0  B．1

C．11  D．12

解析：选D．512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝

C522 018－C522 017＋…＋C×52×(－1)2 017＋C×(－1)2 018＋a.因为52能被13整除，所以只需C×(－1)2 018＋a能被13整除，即a＋1能被13整除，所以a＝12.

3．已知(x＋1)10＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a11x10.若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N*)是一个单调递增数列，则k的最大值是________．

解析：由二项式定理知，an＝C(n＝1，2，3，…，11)．又(x＋1)10展开式中二项式系数最大项是第6项，所以a6＝C，则k的最大值为6.

答案：6

4．已知(2－x2)(1＋ax)3的展开式的所有项系数之和为27，则实数a＝________，展开式中含x2的项的系数是________．

解析：由已知可得，(2－12)(1＋a)3＝27，则a＝2.所以(2－x2)(1＋ax)3＝(2－x2)(1＋2x)3＝(2－x2)(1＋6x＋12x2＋8x3)，所以展开式中含x2的项的系数是2×12－1＝23.

答案：2　23

5．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：

(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

解：令x＝1，

则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，

则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)因为a0＝C＝1，

所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.

(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.

(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝＝1 093.

(4)因为(1－2x)7的展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，

所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|

＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)

＝1 093－(－1 094)＝2 187.

6．已知的展开式中，前三项的系数成等差数列．

(1)求n；

(2)求展开式中的有理项；

(3)求展开式中系数最大的项．

解：(1)由二项展开式知，前三项的系数分别为C，C，C，由已知得2×C＝C＋C，

解得n＝8(n＝1舍去)．

(2)的展开式的通项Tr＋1＝C()8－r·＝2－rCx4－(r＝0，1，…，8)，

要求有理项，则4－必为整数，即r＝0，4，8，共3项，这3项分别是T1＝x4，T5＝x，T9＝.

(3)设第r＋1项的系数为ar＋1最大，则ar＋1＝2－rC，

则＝＝≥1，

＝＝≥1，解得2≤r≤3.

当r＝2时，a3＝2－2C＝7，当r＝3时，a4＝2－3C＝7，

因此，第3项和第4项的系数最大，

故系数最大的项为T3＝7x，T4＝7x.